Упр.1604 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольший на интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$ корень уравнения $$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)+2\sin x\cos 2x=0.$$

Преобразуем уравнение:

$$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)+2\sin x\cos 2x=0$$

Так как $$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 5x,$$ то получаем

$$-\sin 5x+2\sin x\cos 2x=0.$$

Используем формулу

$$2\sin x\cos 2x=\sin(3x)+\sin(x-2x)=\sin 3x-\sin x.$$

Тогда

$$-\sin 5x+\sin 3x-\sin x=0,$$

$$\sin 3x-\bigl(\sin 5x+\sin x\bigr)=0.$$

По формуле суммы в произведение:

$$\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x.$$

Следовательно,

$$\sin 3x-2\sin 3x\cos 2x=0,$$

$$\sin 3x\,(1-2\cos 2x)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 3x=0,$$ тогда $$3x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ значит $$x=\frac{\pi n}{3}.$$
2. $$1-2\cos 2x=0,$$ тогда $$\cos 2x=\frac12,$$ значит
   $$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Найдём корни на интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right).$$

Из первого семейства подходит только $$x=\frac{\pi}{3}.$$

Из второго семейства на данном интервале получаем $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{6},$$ но наибольшим из всех найденных корней является $$\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$