Упр.1603 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1603 Найти все корни уравнения sin4x+sin4(x+пи/4) = sin2 25пи/6, удовлетворяющие неравенству lg(x- (корень (2x+24)) > 0.

Преобразуем уравнение:

$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{25\pi}{6}=\sin^2\frac{\pi}{6}=\frac14.$$

Так как

$$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1+\sin 2x}{2},$$

то

$$\sin^4 x+\left(\frac{1+\sin 2x}{2}\right)^2=\frac14.$$

Умножим на $4$:

$$4\sin^4 x+(1+\sin 2x)^2=1.$$

Раскроем скобки и используем $4\sin^4 x=(1-\cos 2x)^2$:

$$4\sin^4 x+1+2\sin 2x+\sin^2 2x=1,$$
$$ (1-\cos 2x)^2+2\sin 2x+\sin^2 2x=0,$$
$$1-2\cos 2x+\cos^2 2x+2\sin 2x+\sin^2 2x=0,$$
$$2+2(\sin 2x-\cos 2x)=0.$$

Отсюда

$$\sin 2x-\cos 2x=-1.$$

Представим левую часть через синус:

$$\sqrt2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Получаем два семейства решений:

$$x=\pi n,$$
$$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь учтём неравенство

$$\lg\left(x-\sqrt{2x+24}\right)>0.$$

Так как $\lg t>0$ при $t>1$, то

$$x-\sqrt{2x+24}>1.$$

Отсюда

$$x-1>\sqrt{2x+24}.$$

Правая часть неотрицательна, значит $x>1$. Возведём в квадрат:

$$x^2-2x+1>2x+24,$$
$$x^2-4x-23>0.$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$x=2\pm\sqrt{27}.$$

Следовательно,

$$x<2-\sqrt{27}\quad \text{или}\quad x>2+\sqrt{27}.$$

С учётом $x>1$ остаётся только

$$x>2+\sqrt{27}.$$

Проверяем найденные серии корней:

• $$x=\pi n$$ даёт подходящие значения при $$n>2;$$
• $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$$ даёт подходящие значения при $$n>2.$$

Ответ

$$x=\pi n,\quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n>2.$$