Упр.1603 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти все корни уравнения $$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{25\pi}{6}$$, удовлетворяющие неравенству $$\lg\left(x-\sqrt{2x+24}\right)>0$$.
Рассмотрим уравнение
$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{25\pi}{6}.$$
Так как $$\sin\frac{25\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ то
$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac14.$$
Преобразуем второе слагаемое:
$$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1+\sin 2x}{2}.$$
Тогда
$$\sin^4 x+\left(\frac{1+\sin 2x}{2}\right)^2=\frac14.$$
Умножим на $$4$$:
$$4\sin^4 x+(1+\sin 2x)^2=1.$$
Раскроем скобки и используем $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x=(1-\cos 2x)^2-?$$ удобнее перейти к тождеству $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$ Получаем
$$4\sin^4 x+1+2\sin 2x+\sin^2 2x=1,$$
$$4\sin^4 x+2\sin 2x+\sin^2 2x=0.$$
Так как $$4\sin^4 x=(1-\cos 2x)^2=1-2\cos 2x+\cos^2 2x,$$ а $$\sin^2 2x=1-\cos^2 2x,$$ то
$$1-2\cos 2x+\cos^2 2x+2\sin 2x+1-\cos^2 2x=0,$$
$$2-2\cos 2x+2\sin 2x=0,$$
$$\sin 2x-\cos 2x=-1.$$
Делим на $$\sqrt2$$:
$$\sin\frac{\pi}{4}\sin 2x-\cos\frac{\pi}{4}\cos 2x=-\frac{\sqrt2}{2},$$
$$-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2},$$
$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$2x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Получаем два семейства решений:
$$2x=2\pi n,\quad x=\pi n,$$
$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Теперь учтём неравенство
$$\lg\left(x-\sqrt{2x+24}\right)>0.$$
Так как $$\lg t>0 \iff t>1,$$ то
$$x-\sqrt{2x+24}>1.$$
Отсюда обязательно $$x>1$$ и
$$x-1>\sqrt{2x+24}.$$
Возводим в квадрат:
$$x^2-2x+1>2x+24,$$
$$x^2-4x-23>0.$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$x_{1,2}=2\pm\sqrt{27}.$$
Значит,
$$x<2-\sqrt{27}\quad \text{или}\quad x>2+\sqrt{27}.$$
С учётом условия $$x>1$$ остаётся только
$$x>2+\sqrt{27}.$$
Проверяем найденные семейства:
- $$x=\pi n$$ даёт $$x>2+\sqrt{27}$$ при $$n>2$$;
- $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$ даёт $$x>2+\sqrt{27}$$ при $$n>2$$.
Следовательно, все подходящие корни:
$$x=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n>2.$$
Ответ
$$x=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n>2.$$
