Упр.1602 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найдите все корни уравнения $$\cos x+(1+\cos x)\tg^2 x-1=0$$, удовлетворяющие неравенству $$\tg x>0$$.

$$\cos x+(1+\cos x)\tg^2 x-1=0.$$

Так как $$\tg^2 x=\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x},$$ то

$$\cos x+(1+\cos x)\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}-1=0.$$

Умножим на $$\cos^2 x$$:

$$\cos^3 x+(1+\cos x)(1-\cos^2 x)-\cos^2 x=0.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\cos^3 x+1-\cos^2 x+\cos x-\cos^3 x-\cos^2 x=0,$$

$$2\cos^2 x-\cos x-1=0.$$

Обозначим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\dfrac{1\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\dfrac12.$$

1) Если $$\cos x=1,$$ то $$x=2\pi n,$$ но тогда $$\tg x=0,$$ что не удовлетворяет условию $$\tg x>0.$$

2) Если $$\cos x=-\dfrac12,$$ то

$$x=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим условие $$\tg x>0.$$ Для угла $$x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$$ тангенс отрицателен, а для угла

$$x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n$$

тангенс положителен.

Значит, подходят значения

$$x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$