Упр.1602 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1602 Найти все корни уравнения cos х + (1 + cos х) tg2 х — 1 = 0, удовлетворяющие неравенству tg х > 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1602 1111

Преобразуем уравнение:

$$\cos x + (1+\cos x)\tg^2 x — 1 = 0.$$

Так как $$\tg^2 x=\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x},$$ получаем

$$\cos x + (1+\cos x)\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} — 1 = 0.$$

Умножим на $$\cos^2 x$$:

$$\cos^3 x + (1+\cos x)(1-\cos^2 x) — \cos^2 x = 0.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\cos^3 x + 1 — \cos^2 x + \cos x — \cos^3 x — \cos^2 x = 0,$$

$$2\cos^2 x — \cos x — 1 = 0.$$

Обозначим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Отсюда

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac12.$$

Значит,

$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

Теперь учтём условие $$\tg x>0$$.

1) Если $$\cos x=1,$$ то $$x=2\pi n,$$ и $$\tg x=0,$$ что не подходит.

2) Если $$\cos x=-\frac12,$$ то

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знак тангенса. При $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ имеем $$\tg x<0,$$ а при

$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$

получаем $$\tg x>0.$$

Следовательно, подходят значения

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$