Упр.1600 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x+\cos x=\sqrt{1+\operatorname{tg}x}$$
2. $$\sqrt{5\sin 2x-2}=\sin x-\cos x$$

1) Рассмотрим уравнение $$\sin x+\cos x=\sqrt{1+\tg x}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+\tg x.$$

Так как $$1+\tg x=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x},$$ получаем

$$\left(\sin x+\cos x\right)^2=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x}.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$\dfrac{\cos x(\sin x+\cos x)^2-(\cos x+\sin x)}{\cos x}=0,$$

$$\dfrac{(\sin x+\cos x)\bigl((\sin x+\cos x)\cos x-1\bigr)}{\cos x}=0.$$

Отсюда:

$$\sin x+\cos x=0$$

или

$$\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1=0.$$

1) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-1,$$ значит

$$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1=0.$$ Тогда

$$\sin x\cos x+\cos^2x-1=0,$$

$$\sin x\cos x-\sin^2x=0,$$

$$\sin x(\cos x-\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что все найденные значения удовлетворяют исходному уравнению.

2) Решим уравнение $$\sqrt{5\sin 2x-2}=\sin x-\cos x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$5\sin 2x-2=(\sin x-\cos x)^2.$$

Так как

$$\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-\sin 2x,$$

получаем

$$5\sin 2x-2=1-\sin 2x,$$

$$6\sin 2x=3,$$

$$\sin 2x=\dfrac12.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим условие существования корня:

$$5\sin 2x-2\ge 0.$$

При $$\sin 2x=\dfrac12$$ имеем

$$5\cdot\dfrac12-2=\dfrac12\ge 0,$$

значит, все найденные решения подходят.

Ответ

1) $$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ \pi n,\ \dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$