Упр.1600 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) корень (5 sin 2x — 2) = sin x — cos x.

1. $$\sin x+\cos x=\sqrt{1+\tg x}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+\tg x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}$$

   Умножим на $$\cos x$$:

   $$\cos x\left(\sin x+\cos x\right)^2-\left(\cos x+\sin x\right)=0$$

   После преобразований получаем:

   $$\left(\sin x+\cos x\right)\left(\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x+\cos x=0$$

   или

   $$\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1=0$$

   1) $$\sin x+\cos x=0$$

   $$\tg x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\left(\sin x+\cos x\right)\cos x-1=0$$

   $$\sin x\cos x+\cos^2 x-1=0$$

   $$\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$

   $$\sin x\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

   Тогда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\sin x=0$$

   Если $$\sin x=0$$, то

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Если $$\cos x-\sin x=0$$, то

   $$\tg x=1$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Проверка области определения даёт, что все найденные значения подходят.

2. $$\sqrt{5\sin 2x-2}=\sin x-\cos x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то

   $$\sin x-\cos x\ge 0$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$5\sin 2x-2=\left(\sin x-\cos x\right)^2$$

   $$5\sin 2x-2=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x$$

   $$5\sin 2x-2=1-\sin 2x$$

   $$6\sin 2x=3$$

   $$\sin 2x=\frac12$$

   Отсюда:

   $$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Проверим условие $$\sin x-\cos x\ge 0$$.

   Для $$x=\frac{\pi}{12}+\pi n$$ получаем $$\sin x-\cos x<0$$, поэтому эти корни не подходят.

   Для $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n$$ условие выполняется.

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$