Упр.1598 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$1+\log_x(5-x)=\log_7(4)-\log_x(7)$$
2. $$(\log_9(7-x)+1)\log_{3-x}(3)=1$$

1) $$1+\log_x(5-x)=\log_7 4\cdot \log_x 7$$

Так как $$\log_7 4\cdot \log_x 7=\log_x 4,$$ получаем

$$1+\log_x(5-x)=\log_x 4.$$

Преобразуем единицу: $$1=\log_x x.$$ Тогда

$$\log_x x+\log_x(5-x)=\log_x 4,$$

$$\log_x\bigl(x(5-x)\bigr)=\log_x 4,$$

$$x(5-x)=4.$$

$$x^2-5x+4=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0,$$

$$x=1 \text{ или } x=4.$$

Проверим ОДЗ: $$x>0,\; x\ne 1,\; 5-x>0.$$

Значит, $$x=4.$$

2) $$\bigl(\log_9(7-x)+1\bigr)\log_{3-x}3=1.$$

Так как $$1=\log_9 9,$$ то

$$\bigl(\log_9(7-x)+\log_9 9\bigr)\log_{3-x}3=1,$$

$$\log_9\bigl(9(7-x)\bigr)\log_{3-x}3=1.$$

Переходим к основанию $$3$$:

$$\log_9\bigl(9(7-x)\bigr)=\frac12\log_3\bigl(9(7-x)\bigr),$$

$$\log_{3-x}3=\frac{1}{\log_3(3-x)}.$$

Тогда

$$\frac12\cdot \frac{\log_3\bigl(9(7-x)\bigr)}{\log_3(3-x)}=1,$$

$$\log_{3-x}\bigl(9(7-x)\bigr)=2,$$

$$9(7-x)=(3-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$63-9x=9-6x+x^2,$$

$$x^2+3x-54=0,$$

$$\left(x+9\right)\left(x-6\right)=0,$$

$$x=-9 \text{ или } x=6.$$

Проверим ОДЗ: $$7-x>0,\; 3-x>0,\; 3-x\ne 1.$$

Отсюда $$x<3,\; x\ne 2.$$

Подходит только $$x=-9.$$

Ответ: 1) $$x=4$$; 2) $$x=-9$$.