Упр.1597 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1597
1) 9 * 4^1/x + 5 * б^1/x = 4 * 9^1/x;
2) log2 (х2 — 3) — log2 (6x — 10) + 1 = 0;
3) 2 log2 X-2 log2 1/корень 2 = 3 корень log2 X;
4) logx (2×2 — Зх — 4) = 2.

Подробный ответ

$$9\cdot 4^{\frac1x}+5\cdot 6^{\frac1x}=4\cdot 9^{\frac1x}$$
ОДЗ: $$x\ne 0$$.
Представим основания в виде степеней чисел $$2$$ и $$3$$:
$$3^2\cdot 2^{\frac2x}+5\cdot 2^{\frac1x}\cdot 3^{\frac1x}=2^2\cdot 3^{\frac2x}$$
$$9\left(\frac23\right)^{\frac2x}+5\left(\frac23\right)^{\frac1x}-4=0$$
Пусть $$y=\left(\frac23\right)^{\frac1x}$$, тогда:
$$9y^2+5y-4=0$$
$$D=5^2-4\cdot 9\cdot(-4)=25+144=169$$
$$y_1=\frac{-5-13}{18}=-1,\qquad y_2=\frac{-5+13}{18}=\frac49$$
Так как $$y=\left(\frac23\right)^{\frac1x}>0$$, значение $$y_1=-1$$ не подходит.
Тогда
$$\left(\frac23\right)^{\frac1x}=\frac49=\left(\frac23\right)^2$$
$$\frac1x=2,\qquad x=\frac12$$
$$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)+1=0$$
ОДЗ:
$$x^2-3>0,\qquad 6x-10>0$$
$$x<-\sqrt3 \ \text{или}\ x>\sqrt3,\qquad x>\frac53$$
Следовательно, $$x>\frac53$$.
Перенесём единицу вправо:
$$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)= -1$$
$$\log_2\frac{x^2-3}{6x-10}=\log_2\frac12$$
$$\frac{x^2-3}{6x-10}=\frac12$$
$$2x^2-6=6x-10$$
$$2x^2-6x+4=0$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$x_1=1,\qquad x_2=2$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=2$$.
$$2\log_2 x-2\log_2\frac1{\sqrt2}=3\sqrt{\log_2 x}$$
ОДЗ: $$x>0$$, а также $$\log_2 x\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$.
Так как $$\log_2\frac1{\sqrt2}=\log_2 2^{-\frac12}=-\frac12$$, получаем:
$$2\log_2 x+1=3\sqrt{\log_2 x}$$
Пусть $$y=\sqrt{\log_2 x}$$, тогда $$y\ge 0$$ и $$\log_2 x=y^2$$. Имеем:
$$2y^2+1=3y$$
$$2y^2-3y+1=0$$
$$D=9-8=1$$
$$y_1=\frac12,\qquad y_2=1$$
Тогда
$$\sqrt{\log_2 x}=\frac12 \Rightarrow \log_2 x=\frac14 \Rightarrow x=\sqrt[4]{2}$$
$$\sqrt{\log_2 x}=1 \Rightarrow \log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$
$$\log_x(2x^2-3x-4)=2$$
ОДЗ: $$x>0,\ x\ne 1,\ 2x^2-3x-4>0$$.
По определению логарифма:
$$2x^2-3x-4=x^2$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$x_1=4,\qquad x_2=-1$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.