Упр.1597 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1597. 1) $$9\cdot4^{\frac{1}{x}}+5\cdot6^{\frac{1}{x}}=4\cdot9^{\frac{1}{x}}$$; 2) $$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)+1=0$$; 3) $$2\log_2 x-2\log_2\frac{1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{\log_2 x}$$; 4) $$\log_x(2x^2-3x-4)=2$$.

1) $$9\cdot 4^{\frac1x}+5\cdot 6^{\frac1x}=4\cdot 9^{\frac1x}$$

Область допустимых значений: $$x\ne 0.$$

Преобразуем уравнение:

$$3^2\cdot 2^{\frac{2}{x}}+5\cdot 2^{\frac{1}{x}}\cdot 3^{\frac{1}{x}}=2^2\cdot 3^{\frac{2}{x}}$$

Разделим обе части на $$3^{\frac{2}{x}}$$:

$$9\left(\frac23\right)^{\frac{2}{x}}+5\left(\frac23\right)^{\frac{1}{x}}-4=0$$

Пусть $$y=\left(\frac23\right)^{\frac{1}{x}},\quad y>0.$$ Тогда:

$$9y^2+5y-4=0$$

$$D=5^2-4\cdot 9\cdot(-4)=25+144=169$$

$$y_1=\frac{-5-13}{18}=-1,\qquad y_2=\frac{-5+13}{18}=\frac49$$

Так как $$y>0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac23\right)^{\frac{1}{x}}=\frac49=\left(\frac23\right)^2$$

Следовательно, $$\frac1x=2,$$ откуда $$x=\frac12.$$

2) $$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)+1=0$$

Область допустимых значений:

$$x^2-3>0,\qquad 6x-10>0$$

Отсюда $$x<-\sqrt3$$ или $$x>\sqrt3,$$ а также $$x>\frac53.$$ Значит, $$x>\frac53.$$

Перенесём единицу вправо:

$$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)= -1$$

$$\log_2\frac{x^2-3}{6x-10}=\log_2\frac12$$

Тогда

$$\frac{x^2-3}{6x-10}=\frac12$$

$$2x^2-6=6x-10$$

$$2x^2-6x+4=0$$

$$x^2-3x+2=0$$

$$(x-1)(x-2)=0$$

$$x=1 \text{ или } x=2.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=2.$$

3) $$2\log_2 x-2\log_2\frac1{\sqrt2}=3\sqrt{\log_2 x}$$

Область допустимых значений: $$x>0,$$ а также $$\log_2 x\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$

Так как $$\log_2\frac1{\sqrt2}=-\frac12,$$ получаем:

$$2\log_2 x+1=3\sqrt{\log_2 x}$$

Пусть $$y=\sqrt{\log_2 x},\quad y\ge 0.$$ Тогда $$\log_2 x=y^2,$$ и уравнение принимает вид:

$$2y^2+1=3y$$

$$2y^2-3y+1=0$$

$$(2y-1)(y-1)=0$$

$$y=\frac12 \text{ или } y=1$$

1) Если $$y=\frac12,$$ то $$\log_2 x=\frac14,$$ значит $$x=2^{1/4}=\sqrt[4]{2}.$$

2) Если $$y=1,$$ то $$\log_2 x=1,$$ значит $$x=2.$$

4) $$\log_x(2x^2-3x-4)=2$$

Область допустимых значений:

$$2x^2-3x-4>0,\qquad x>0,\qquad x\ne 1$$

По определению логарифма:

$$2x^2-3x-4=x^2$$

$$x^2-3x-4=0$$

$$(x-4)(x+1)=0$$

$$x=4 \text{ или } x=-1.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=4.$$

Ответ

1) $$x=\frac12$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=\sqrt[4]{2},\ 2$$; 4) $$x=4$$.