Упр.1596 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все действительные корни уравнения $$\left|2\sqrt{x}+1-x\right|+\left|x-2\sqrt{x}+2\right|=7$$.

Положим $$y=2\sqrt{x}+1-x.$$ Тогда второе слагаемое можно переписать так:

$$x-2\sqrt{x}+2=3-(2\sqrt{x}+1-x)=3-y.$$

Получаем уравнение

$$|y|+|3-y|=7.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$0\le y\le 3,$$ то

   $$|y|+|3-y|=y+(3-y)=3,$$

   что не равно $$7.$$ Решений нет.

2. Если $$y>3,$$ то

   $$|y|+|3-y|=y+(y-3)=7,$$

   откуда

   $$2y-3=7,\qquad 2y=10,\qquad y=5.$$

   Тогда

   $$2\sqrt{x}+1-x=5,$$

   $$x-2\sqrt{x}+4=0.$$

   Положим $$t=\sqrt{x}\ge 0.$$ Тогда

   $$t^2-2t+4=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=4-16=-12<0.$$

   Решений нет.

3. Если $$y<0,$$ то

   $$|y|+|3-y|=-y+(3-y)=7,$$

   откуда

   $$-2y+3=7,\qquad -2y=4,\qquad y=-2.$$

   Тогда

   $$2\sqrt{x}+1-x=-2,$$

   $$x-2\sqrt{x}-3=0.$$

   Положим $$t=\sqrt{x}\ge 0.$$ Тогда

   $$t^2-2t-3=0,$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0.$$

   С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$t=3,$$ значит

   $$x=9.$$

   Проверка:

   $$|2\sqrt{9}+1-9|+|9-2\sqrt{9}+2|=|6-8|+|11-6|=2+5=7.$$

Ответ: $$9$$.