Упр.1596 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1596 Найти все действительные корни уравнения |2 (корень х) + 1-х| + |x-2 (корень x) + 2|= 7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1596 1111

Обозначим

$$y=2\sqrt{x}+1-x.$$

Тогда уравнение примет вид

$$|y|+|3-y|=7.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$0\le y\le 3,$$ то

   $$|y|+|3-y|=y+(3-y)=3,$$

   что не равно $$7.$$

2. Если $$y>3,$$ то

   $$|y|+|3-y|=y+(y-3)=7,$$

   откуда

   $$2y-3=7,\quad y=5.$$

3. Если $$y<0,$$ то

   $$|y|+|3-y|=-y+(3-y)=7,$$

   откуда

   $$-2y+3=7,\quad y=-2.$$

Теперь найдём значения $$x$$.

1) При $$y=5$$ имеем

$$2\sqrt{x}+1-x=5,$$

$$x-2\sqrt{x}+4=0.$$

Положим $$t=\sqrt{x}\ge 0.$$ Тогда

$$t^2-2t+4=0.$$

Дискриминант:

$$D=4-16=-12<0,$$

значит, решений нет.

2) При $$y=-2$$ имеем

$$2\sqrt{x}+1-x=-2,$$

$$x-2\sqrt{x}-3=0.$$

Положим $$t=\sqrt{x}\ge 0.$$ Тогда

$$t^2-2t-3=0,$$

$$t=3 \text{ или } t=-1.$$

Так как $$t\ge 0,$$ получаем $$t=3,$$ значит

$$x=9.$$

Проверка:

$$|2\sqrt{9}+1-9|+|9-2\sqrt{9}+2|=|6+1-9|+|9-6+2|=2+5=7.$$

Ответ

$$x=9.$$