Упр.1595 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. 1) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-4}=\sqrt{3x-2}$$; 2) $$\frac{1}{1-\sqrt{1-x}}+\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}$$.

1) Обозначим область допустимых значений:

$$x+3\ge 0,\quad 2x-4\ge 0,\quad 3x-2\ge 0.$$

Отсюда $$x\ge 2.$$

Возведём уравнение в квадрат:

$$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-4}=\sqrt{3x-2}$$

$$x+3-2\sqrt{(x+3)(2x-4)}+2x-4=3x-2$$

$$1=2\sqrt{(x+3)(2x-4)}$$

$$1=4(x+3)(2x-4).$$

Раскроем скобки:

$$1=4(2x^2+2x-12)$$

$$8x^2+8x-49=0.$$

Найдём корни:

$$D=8^2-4\cdot 8\cdot(-49)=64+1568=1632=16\cdot 102,$$

$$x=\frac{-8\pm \sqrt{1632}}{16}=\frac{-8\pm 4\sqrt{102}}{16}=\frac{-2\pm \sqrt{102}}{4}.$$

С учётом ОДЗ $$x\ge 2$$ подходит только

$$x=\frac{-2+\sqrt{102}}{4}.$$

2) Пусть $$y=\sqrt{1-x},\quad y>0.$$ Тогда уравнение принимает вид:

$$\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}=\frac{2\sqrt2}{y}.$$

Умножим на $$y(1-y)(1+y)$$:

$$y(1+y)+y(1-y)=2\sqrt2(1-y^2).$$

$$2y=2\sqrt2-2\sqrt2\,y^2.$$

$$\sqrt2\,y^2+y-\sqrt2=0.$$

Найдём корни:

$$D=1-4\cdot \sqrt2\cdot(-\sqrt2)=1+8=9,$$

$$y=\frac{-1\pm 3}{2\sqrt2}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{1}{\sqrt2},\qquad y_2=-\sqrt2.$$

Так как $$y>0,$$ берём только $$y=\frac{1}{\sqrt2}.$$ Тогда

$$\sqrt{1-x}=\frac{1}{\sqrt2},$$

$$1-x=\frac12,$$

$$x=\frac12.$$

Ответ

1) $$x=\frac{-2+\sqrt{102}}{4};$$ 2) $$x=\frac12.$$