Упр.1592 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Дана функция $$f(x)=0{,}5x^2-2x+2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=x-2.$$

Уравнение касательной в точке $$A(1;\tfrac12)$$:

$$f'(1)=1-2=-1,$$

$$y-\tfrac12=-1(x-1),$$

$$y=-x+\tfrac32.$$

Уравнение касательной в точке $$B(4;2)$$:

$$f'(4)=4-2=2,$$

$$y-2=2(x-4),$$

$$y=2x-6.$$

Найдём абсциссу точки пересечения касательных:

$$-x+\tfrac32=2x-6,$$

$$3x=\tfrac{15}{2},$$

$$x=\tfrac52.$$

Тогда

$$y=-\tfrac52+\tfrac32=-1.$$

Точка пересечения касательных: $$\left(\tfrac52;-1\right).$$

Площадь искомой фигуры равна сумме площадей между параболой и касательными на отрезках $$[1;\tfrac52]$$ и $$[\tfrac52;4]$$:

$$ S=\int\limits_{1}^{5/2}\left(0{,}5x^2-2x+2-(-x+\tfrac32)\right)\,dx+\int\limits_{5/2}^{4}\left(0{,}5x^2-2x+2-(2x-6)\right)\,dx. $$

Упростим подынтегральные выражения:

$$ S=\int\limits_{1}^{5/2}\left(0{,}5x^2-x+0{,}5\right)\,dx+\int\limits_{5/2}^{4}\left(0{,}5x^2-4x+8\right)\,dx. $$

Вычислим:

$$ S=\left(\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{1}^{5/2} +\left(\frac{x^3}{6}-2x^2+8x\right)\Bigg|_{5/2}^{4}. $$

$$ S=\left(\frac{125}{48}-\frac{25}{8}+\frac54\right)-\left(\frac16-\frac12+\frac12\right) +\left(\frac{64}{6}-32+32\right)-\left(\frac{125}{48}-\frac{25}{2}+20\right). $$

После вычислений получаем:

$$S=\frac98=1\tfrac18.$$