Упр.1592 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

10-11 alim10-11 1592 1111

Найдём производную функции $$f(x)=0{,}5x^2-2x+2.$$

$$f'(x)=x-2.$$

Уравнение касательной в точке $$A(1;\tfrac12):$$

$$f'(1)=1-2=-1,$$

$$f(1)=0{,}5-2+2=0{,}5,$$

$$y-0{,}5=-1(x-1),$$

$$y=1{,}5-x.$$

Уравнение касательной в точке $$B(4;2):$$

$$f'(4)=4-2=2,$$

$$f(4)=0{,}5\cdot 16-8+2=2,$$

$$y-2=2(x-4),$$

$$y=2x-6.$$

Найдём абсциссу точки пересечения касательных:

$$1{,}5-x=2x-6,$$

$$3x=7{,}5,$$

$$x=2{,}5.$$

Тогда площадь искомой фигуры равна

$$S=\int\limits_{1}^{2{,}5}\bigl(0{,}5x^2-2x+2-(1{,}5-x)\bigr)\,dx+\int\limits_{2{,}5}^{4}\bigl(0{,}5x^2-2x+2-(2x-6)\bigr)\,dx.$$

Упростим подынтегральные выражения:

$$S=\int\limits_{1}^{2{,}5}(0{,}5x^2-x+0{,}5)\,dx+\int\limits_{2{,}5}^{4}(0{,}5x^2-4x+8)\,dx.$$

Вычислим интегралы:

$$S=\left(\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{1}^{2{,}5}+\left(\frac{x^3}{6}-2x^2+8x\right)\Bigg|_{2{,}5}^{4}.$$

$$S=\left(\frac{125}{48}-\frac{25}{8}+\frac54\right)-\left(\frac16-\frac12+\frac12\right)+\left(\frac{64}{6}-32+32\right)-\left(\frac{125}{48}-\frac{25}{2}+20\right).$$

$$S=\frac{9}{8}.$$

Ответ

$$\frac{9}{8}$$