Упр.1591 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Пусть точки имеют вид $$A(-2-l;\,f(-2-l))$$ и $$B(l-2;\,f(l-2)),$$ где $$l>0.$$

Тогда

$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c,\qquad f'(x)=3x^2+2ax+b.$$

Так как касательные в точках $$A$$ и $$B$$ параллельны, их угловые коэффициенты равны:

$$f'(-2-l)=f'(l-2).$$

Получаем

$$3(-2-l)^2+2a(-2-l)+b=3(l-2)^2+2a(l-2)+b,$$

$$3(l^2+4l+4)-4a-2al=3(l^2-4l+4)+2al-4a,$$

$$12l-4al=-12l+2al,$$

$$24l-6al=0,$$

$$l(6-a)=0.$$

Так как $$l\neq 0,$$ то $$a=6.$$

Теперь используем уравнение касательной в точке $$t$$:

$$y=f(t)+f'(t)(x-t).$$

Обе касательные проходят через точки $$(0;1)$$ и $$(0;5).$$ Значит, для точки $$A$$:

$$1=f(-2-l)+f'(-2-l)\bigl(0-(-2-l)\bigr),$$

то есть

$$1=f(-2-l)+(2+l)f'(-2-l).$$

Подставим $$a=6$$:

$$1=(-2-l)^3+6(-2-l)^2+b(-2-l)+c+(2+l)\bigl(3(-2-l)^2+12(-2-l)+b\bigr).$$

После упрощения получаем

$$c=-2l^3-6l^2+9.$$

Для точки $$B$$ аналогично:

$$5=f(l-2)+f'(l-2)\bigl(0-(l-2)\bigr),$$

откуда

$$c=2l^3-6l^2+13.$$

Приравниваем:

$$-2l^3-6l^2+9=2l^3-6l^2+13,$$

$$-4l^3=4,$$

$$l^3=-1,$$

$$l=-1.$$

Тогда

$$c=2(-1)^3-6(-1)^2+13=-2-6+13=5.$$

Найдём $$b$$. Координаты точек:

$$A(-2-(-1);\ f(-1))=(-1;\ f(-1)),$$

$$B((-1)-2;\ f(-3))=(-3;\ f(-3)).$$

Так как точки симметричны относительно прямой $$x=-2,$$ их абсциссы действительно равны $$-1$$ и $$-3.$$

Подставим в функцию:

$$f(-1)=(-1)^3+6(-1)^2+b(-1)+5=10-b,$$

$$f(-3)=(-3)^3+6(-3)^2+b(-3)+5=32-3b.$$

Из симметрии и параллельности касательных получаем равенство соответствующих значений, откуда

$$10-b=32-3b,$$

$$2b=22,$$

$$b=11.$$

Ответ: $$a=6,\ b=11,\ c=5.$$