Упр.1590 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1590 Графику функции у = -х3 + ах2 + bх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти значения а, b, с. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1590 1111

Пусть $$f(x)=-x^3+ax^2+bx+c.$$

Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $$x=2,$$ значит их абсциссы имеют вид $$2-l \text{ и } 2+l.$$

Так как касательные в точках $A$ и $B$ параллельны, их угловые коэффициенты равны:

$$f'(2-l)=f'(2+l).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-3x^2+2ax+b.$$

Тогда

$$ -3(2-l)^2+2a(2-l)+b=-3(2+l)^2+2a(2+l)+b. $$

Раскроем скобки:

$$ -12+12l-3l^2+4a-2al+b=-12-12l-3l^2+4a+2al+b. $$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

$$24l-4al=0,$$

$$4l(6-a)=0.$$

Так как точки различны, $$l\ne 0,$$ значит

$$a=6.$$

Теперь запишем функцию:

$$f(x)=-x^3+6x^2+bx+c.$$

Уравнение касательной в точке с абсциссой $t$:

$$y=f'(t)(x-t)+f(t).$$

Подставим $x=0$. Тогда ордината точки пересечения касательной с осью $Oy$ равна

$$y=f(t)-tf'(t).$$

Вычислим:

$$f(t)=-t^3+6t^2+bt+c,$$

$$f'(t)=-3t^2+12t+b,$$

$$f(t)-tf'(t)=2t^3-6t^2+c.$$

Для касательной в точке $A$ имеем $t=2-l$, и она проходит через точку $(0;2)$:

$$2=2(2-l)^3-6(2-l)^2+c.$$

Для касательной в точке $B$ имеем $t=2+l$, и она проходит через точку $(0;6)$:

$$6=2(2+l)^3-6(2+l)^2+c.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 4=2\bigl((2+l)^3-(2-l)^3\bigr)-6\bigl((2+l)^2-(2-l)^2\bigr). $$

После раскрытия скобок получаем:

$$4l^3=4,$$

откуда

$$l=1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2=2\cdot 1^3-6\cdot 1^2+c,$$

$$2=2-6+c,$$

$$c=6.$$

Теперь найдём $b$. Тогда

$$A(1;f(1)), \quad B(3;f(3)).$$

Вычислим:

$$f(1)=-1+6+b+6=b+11,$$

$$f(3)=-27+54+3b+6=3b+33.$$

Так как точки симметричны относительно прямой $$x=2,$$ их ординаты равны:

$$b+11=3b+33,$$

$$-2b=22,$$

$$b=-11.$$

Ответ

$$a=6,\quad b=-11,\quad c=6.$$