Упр.1590 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Графику функции $$y=-x^3+ax^2+bx+c$$ принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой $$x=2$$. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $$(0; 2)$$, а другая — через точку $$(0; 6)$$. Найти значения $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Пусть $$f(x)=-x^3+ax^2+bx+c.$$

Точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$x=2,$$ значит их абсциссы имеют вид $$2-l$$ и $$2+l$$. Обозначим

$$A(2-l,\ f(2-l)), \qquad B(2+l,\ f(2+l)).$$

Производная функции:

$$f'(x)=-3x^2+2ax+b.$$

Так как касательные в точках $$A$$ и $$B$$ параллельны, их угловые коэффициенты равны:

$$f'(2-l)=f'(2+l).$$

Подставим:

$$-3(2-l)^2+2a(2-l)+b=-3(2+l)^2+2a(2+l)+b.$$

Раскроем скобки:

$$-12+12l-3l^2+4a-2al=-12-12l-3l^2+4a+2al.$$

Отсюда

$$24l-4al=0,$$

$$4l(6-a)=0.$$

Так как $$l\ne 0,$$ то

$$a=6.$$

Теперь найдём уравнение касательной в точке с абсциссой $$t$$:

$$y=f'(t)(x-t)+f(t).$$

Её свободный член равен

$$f(t)-tf'(t)=\left(-t^3+6t^2+bt+c\right)-t\left(-3t^2+12t+b\right)=2t^3-6t^2+c.$$

Значит, касательная в точке $$x=t$$ проходит через точку $$\left(0,\ 2t^3-6t^2+c\right).$$

Для точек $$A$$ и $$B$$ получаем:

$$2=2(2-l)^3-6(2-l)^2+c,$$

$$6=2(2+l)^3-6(2+l)^2+c.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$4=2\bigl((2+l)^3-(2-l)^3\bigr)-6\bigl((2+l)^2-(2-l)^2\bigr).$$

После раскрытия скобок:

$$4=4l^3,$$

$$l^3=1,$$

$$l=1.$$

Тогда из первого уравнения:

$$2=2\cdot 1^3-6\cdot 1^2+c,$$

$$2=-4+c,$$

$$c=6.$$

Найдём $$b$$. Так как $$l=1,$$ то

$$A(1,\ f(1)), \qquad B(3,\ f(3)).$$

Вычислим ординаты:

$$f(1)=-1+6+b+6=b+11,$$

$$f(3)=-27+54+3b+6=3b+33.$$

Точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$x=2,$$ значит их ординаты равны:

$$b+11=3b+33.$$

Отсюда

$$-2b=22,$$

$$b=-11.$$

Ответ: $$a=6,\ b=-11,\ c=6.$$