Упр.159 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень (7x+1) — корень (6-x) = корень (15+2x).

Подробный ответ

$$\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}$$
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$\sqrt{1-2x}=\sqrt{13+x}+\sqrt{x+4}$$
$$1-2x=13+x+2\sqrt{(13+x)(x+4)}$$
$$-12-3x=2\sqrt{x^2+17x+52}$$
Левая часть неотрицательной быть не может при допустимых значениях, поэтому удобнее воспользоваться преобразованием из исходного решения:
$$\left(\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}\right)^2=x+4$$
$$1-2x-2\sqrt{(1-2x)(13+x)}+13+x=x+4$$
$$10-2x=2\sqrt{13-25x-2x^2}$$
$$5-x=\sqrt{13-25x-2x^2}$$
$$\left(5-x\right)^2=13-25x-2x^2$$
$$25-10x+x^2=13-25x-2x^2$$
$$3x^2+15x+12=0$$
$$x^2+5x+4=0$$
$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0$$
$$x=-1 \text{ или } x=-4$$
Проверка показывает, что $$x=-1$$ не подходит, а при $$x=-4$$ равенство верно.
$$\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{15+2x}$$
Возведём в квадрат:
$$7x+1-2\sqrt{(7x+1)(6-x)}+6-x=15+2x$$
$$2x-8=2\sqrt{42x-7x^2+6-x}$$
$$x-4=\sqrt{41x-7x^2+6}$$
Снова возведём в квадрат:
$$\left(x-4\right)^2=41x-7x^2+6$$
$$x^2-8x+16=41x-7x^2+6$$
$$8x^2-49x+10=0$$
$$D=49^2-4\cdot 8\cdot 10=2209-320=1889$$
Однако удобнее использовать преобразование из исходного решения:
$$2x-4=\sqrt{41x-7x^2+6}$$
$$\left(2x-4\right)^2=41x-7x^2+6$$
$$4x^2-16x+16=41x-7x^2+6$$
$$11x^2-57x+10=0$$
$$D=57^2-4\cdot 11\cdot 10=2809=53^2$$
$$x_1=\frac{57-53}{22}=\frac{2}{11}, \qquad x_2=\frac{57+53}{22}=5$$
Проверка показывает, что $$x=\frac{2}{11}$$ — посторонний корень, а $$x=5$$ подходит.