Упр.159 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}$$
2. $$\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{15+2x}$$

1) $$\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}$$

ОДЗ: $$1-2x\ge 0,\quad 13+x\ge 0,\quad x+4\ge 0.$$

Возведём в квадрат:

$$\left(\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}\right)^2=x+4$$

$$1-2x-2\sqrt{(1-2x)(13+x)}+13+x=x+4$$

$$10-2x=2\sqrt{13-25x-2x^2}$$

$$5-x=\sqrt{13-25x-2x^2}$$

Снова возведём в квадрат:

$$\left(5-x\right)^2=13-25x-2x^2$$

$$25-10x+x^2=13-25x-2x^2$$

$$3x^2+15x+12=0$$

$$x^2+5x+4=0$$

$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0$$

$$x=-1 \text{ или } x=-4$$

Проверка показывает, что $$x=-1$$ не подходит, а при $$x=-4$$ получаем верное равенство.

2) $$\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{15+2x}$$

ОДЗ: $$7x+1\ge 0,\quad 6-x\ge 0,\quad 15+2x\ge 0.$$

Возведём в квадрат:

$$\left(\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}\right)^2=15+2x$$

$$7x+1-2\sqrt{(7x+1)(6-x)}+6-x=15+2x$$

$$4x-8=2\sqrt{42x-7x^2+6-x}$$

$$2x-4=\sqrt{41x-7x^2+6}$$

Возведём в квадрат ещё раз:

$$\left(2x-4\right)^2=41x-7x^2+6$$

$$4x^2-16x+16=41x-7x^2+6$$

$$11x^2-57x+10=0$$

$$D=57^2-4\cdot 11\cdot 10=2809=53^2$$

$$x=\frac{57\pm 53}{22}$$

$$x_1=\frac{2}{11},\quad x_2=5$$

Проверка показывает, что $$x=\frac{2}{11}$$ — посторонний корень, а $$x=5$$ подходит.

Ответ

1) $$x=-4$$; 2) $$x=5$$.