Упр.1588 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Через точку А $$\left(3; -4\right)$$ проведена касательная $$l$$ к гиперболе $$y=-\frac{12}{x}$$. Найти радиус окружности с центром на оси ординат, касающейся прямой $$l$$ и оси абсцисс.

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=-\frac{12}{x}$$ в точке $$A(3;-4).$$

Производная функции:

$$y’=\left(-\frac{12}{x}\right)’=\frac{12}{x^2}.$$

Тогда угловой коэффициент касательной в точке $$x=3$$ равен

$$k=y'(3)=\frac{12}{3^2}=\frac{4}{3}.$$

Уравнение касательной:

$$y+4=\frac{4}{3}(x-3),$$

откуда

$$y=\frac{4}{3}x-8.$$

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(0;r),$$ так как он лежит на оси ординат, а окружность касается оси абсцисс. Тогда её радиус равен $$r.$$

Расстояние от центра $$O(0;r)$$ до прямой $$y=\frac{4}{3}x-8$$ должно быть равно радиусу $$r$$:

$$\frac{\left|\frac{4}{3}\cdot 0-r-8\right|}{\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+1}}=r.$$

Получаем

$$\frac{|r+8|}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}=r,$$

$$\frac{|r+8|}{\frac{5}{3}}=r,$$

$$3|r+8|=5r.$$

Так как $$r>0,$$ то $$|r+8|=r+8,$$ и

$$3(r+8)=5r,$$

$$3r+24=5r,$$

$$2r=24,$$

$$r=12.$$

Ответ: $$12$$.