Упр.1586 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$x$$, при которых касательные к графикам функций $$y=3\cos 5x$$ и $$y=5\cos 3x+2$$ в точках с абсциссой $$x$$ параллельны.

Найдём производные данных функций:

$$y_1=3\cos 5x,\qquad y_2=5\cos 3x+2$$

$$y_1′ = 3\cdot(-5\sin 5x)=-15\sin 5x$$

$$y_2′ = 5\cdot(-3\sin 3x)+0=-15\sin 3x$$

Касательные параллельны, когда их угловые коэффициенты равны:

$$-15\sin 5x=-15\sin 3x$$

$$\sin 5x=\sin 3x$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin 5x-\sin 3x=2\cos\frac{5x+3x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}=2\cos 4x\sin x$$

Тогда

$$2\cos 4x\sin x=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$

Итак, касательные параллельны при

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$