Упр.1585 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$b$$, при каждом из которых функция $$f(x)=\sin 2x-8(b+2)\cos x-(4b^2+16b+6)x$$ является убывающей на всей числовой прямой и при этом не имеет стационарных точек.

Найдём все значения $$b$$, при которых функция

$$f(x)=\sin 2x-8(b+2)\cos x-(4b^2+16b+6)x$$

убывает на всей числовой прямой и не имеет стационарных точек.

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos 2x+8(b+2)\sin x-(4b^2+16b+6).$$

Чтобы функция была убывающей на всей числовой прямой и не имела стационарных точек, нужно, чтобы

$$f'(x)<0$$

при всех $$x$$.

Преобразуем неравенство:

$$2\cos 2x+8(b+2)\sin x-(4b^2+16b+6)<0,$$

$$2b^2-b(4\sin x-8)-(\cos 2x+8\sin x-3)>0.$$

Рассмотрим это как квадратное неравенство относительно $$b$$. Его дискриминант равен

$$D=(4\sin x-8)^2+4\cdot 2\cdot(\cos 2x+8\sin x-3).$$

Упростим:

$$D=16\sin^2 x-64\sin x+64+8\cos 2x+64\sin x-24,$$

$$D=16\sin^2 x+8\cos 2x+40.$$

Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$, то

$$D=16\sin^2 x+8(1-2\sin^2 x)+40=48=16\cdot 3.$$

Тогда корни соответствующего квадратного трёхчлена:

$$b=\frac{4\sin x-8\pm\sqrt{48}}{4}=\sin x-2\pm\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\bigl(b-(\sin x-2-\sqrt3)\bigr)\bigl(b-(\sin x-2+\sqrt3)\bigr)>0.$$

Это выполняется при

$$b<\sin x-2-\sqrt3 \quad \text{или} \quad b>\sin x-2+\sqrt3.$$

Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x$$, нужно взять наибольшую нижнюю границу и наименьшую верхнюю границу:

$$\sin x\in[-1,1],$$

поэтому

$$b<-1-2-\sqrt3=-3-\sqrt3,$$

или

$$b>1-2+\sqrt3=\sqrt3-1.$$

Ответ: $$b<-3-\sqrt3,\; b>\sqrt3-1.$$