Упр.1584 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при $$-1 \le x \le 1$$ сумма $$\arcsin x+\arccos x$$ равна $$C$$, где $$C$$ — постоянная. Найти $$C$$.

Пусть

$$\arcsin x+\arccos x=C.$$

Тогда

$$\arcsin x=C-\arccos x,$$

и после применения синуса получаем

$$\sin(\arcsin x)=\sin(C-\arccos x).$$

Следовательно,

$$x=\sin C\cdot \cos(\arccos x)-\cos C\cdot \sin(\arccos x).$$

Так как $$\cos(\arccos x)=x$$ и $$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2},$$ то

$$x=x\sin C-\cos C\sqrt{1-x^2}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x(1-\sin C)=-\cos C\sqrt{1-x^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2(1-\sin C)^2=\cos^2 C(1-x^2).$$

Раскроем скобки и используем тождество $$\sin^2 C+\cos^2 C=1$$:

$$x^2(1-2\sin C+\sin^2 C)=\cos^2 C-\cos^2 Cx^2,$$

$$x^2-2x^2\sin C+x^2\sin^2 C-\cos^2 C+\cos^2 Cx^2=0,$$

$$2x^2-2x^2\sin C-\cos^2 C=0,$$

$$2x^2(1-\sin C)-(1-\sin^2 C)=0,$$

$$2x^2(1-\sin C)-(1-\sin C)(1+\sin C)=0,$$

$$\bigl(1-\sin C\bigr)\bigl(2x^2-(1+\sin C)\bigr)=0.$$

Чтобы равенство выполнялось при всех $$x\in[-1;1],$$ должно быть

$$1-\sin C=0,$$

то есть

$$\sin C=1.$$

Отсюда

$$C=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но при $$-1\le x\le 1$$ имеем

$$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \arccos x\le \pi,$$

значит

$$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x+\arccos x\le \frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно, подходит только

$$C=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}$$.