Упр.1582 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество $$\log_b(a)\cdot\log_c(b)\cdot\log_d(c)=\log_d(a)$$.

Преобразуем левую часть тождества:

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c$$

По формуле перехода к новому основанию имеем:

$$\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}, \qquad \log_d c=\frac{1}{\log_c d}$$

Тогда

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \frac{\log_c a}{\log_c b}\cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_c a \cdot \log_d c$$

Снова применим формулу перехода к новому основанию:

$$\log_c a \cdot \log_d c = \frac{\log_d a}{\log_d c}\cdot \log_d c = \log_d a$$

Следовательно,

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c=\log_d a,$$

что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.