Упр.1582 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1582 Доказать тождество logb(а) * logc(b) * logd(с) = logd(a).

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу перехода к новому основанию:

$$\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Тогда

$$ \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \frac{\log_c a}{\log_c b}\cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_c a \cdot \log_d c. $$

Снова применим формулу перехода к новому основанию:

$$\log_c a=\frac{\log_d a}{\log_d c}$$

Получаем

$$ \log_c a \cdot \log_d c = \frac{\log_d a}{\log_d c}\cdot \log_d c = \log_d a. $$

Следовательно,

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c=\log_d a.$$
Тождество доказано.

Ответ

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c=\log_d a$$