Упр.1581 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$y=\frac{2}{(x-1)(x-3)}$$

Область определения:

$$x-1\ne 0,\quad x-3\ne 0$$

$$x\ne 1,\quad x\ne 3$$

$$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)$$

Найдём производную:

$$y’=2\cdot\bigl((x-1)(x-3)\bigr)^{-1}{}’=-2\cdot\frac{2x-4}{\bigl((x-1)(x-3)\bigr)^2}=\frac{8-4x}{(x^2-4x+3)^2}$$

Так как знаменатель положителен при всех $$x$$ из области определения, то знак производной определяется числителем:

$$8-4x>0,\quad x<2$$

Следовательно, функция возрастает при $$x<2$$, убывает при $$x>2$$.

Стационарная точка:

$$x=2$$

$$y(2)=\frac{2}{(2-1)(2-3)}=\frac{2}{1\cdot(-1)}=-2$$

Значит, в точке $$\bigl(2;-2\bigr)$$ функция имеет максимум.

$$y=\frac{1}{\cos x}$$

Область определения:

$$\cos x\ne 0$$

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Найдём производную:

$$y’=\bigl(\cos x\bigr)^{-1}{}’=\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

Так как $$\cos^2 x>0$$, знак производной совпадает со знаком $$\sin x$$. Поэтому функция возрастает при

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

и убывает при

$$\pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Стационарные точки:

$$x=\pi+2\pi n$$ — точки максимума,

$$x=2\pi n$$ — точки минимума.

Значения функции в этих точках:

$$y(\pi+2\pi n)=\frac{1}{\cos(\pi+2\pi n)}=\frac{1}{-1}=-1$$

$$y(2\pi n)=\frac{1}{\cos(2\pi n)}=\frac{1}{1}=1$$

$$y=\frac{1}{\ln x}$$

Область определения:

$$x>0,\quad \ln x\ne 0$$

$$x\ne 1$$

$$D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)$$

Найдём производную:

$$y’=\bigl(\ln x\bigr)^{-1}{}’=-\frac{1}{x\ln^2 x}$$

На области определения $$x>0$$ и $$\ln^2 x>0$$, значит

$$y'<0$$

Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков области определения:

$$(0;1)\quad \text{и}\quad (1;+\infty)$$

Предел при $$x\to+\infty$$:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=0$$

Функция отрицательна при

$$\frac{1}{\ln x}<0,\quad \ln x<0,\quad x<1$$

то есть на промежутке $$(0;1)$$.