Упр.1580 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$y=\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\frac{|x|}{x}$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=\frac{-x}{x}=-1.$$

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=\frac{x}{x}=1.$$

Следовательно, график состоит из двух горизонтальных лучей: $$y=-1$$ при $$x<0$$ и $$y=1$$ при $$x>0,$$ при $$x=0$$ функция не определена.

$$y=\frac{2}{1-2x}$$

Область определения: $$1-2x\ne 0,$$ откуда $$x\ne \frac12.$$

Значит, $$D(y)=(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty).$$

Это гипербола с вертикальной асимптотой $$x=\frac12$$ и горизонтальной асимптотой $$y=0.$$

Для построения удобно взять точки:

$$x=0 \Rightarrow y=2,\qquad x=1 \Rightarrow y=-2.$$

График имеет две ветви: при $$x<\frac12$$ значения положительны, при $$x>\frac12$$ — отрицательны.

$$y=\frac{3x+2}{2x-3}$$

Область определения: $$2x-3\ne 0,$$ откуда $$x\ne \frac32.$$

Значит, $$D(y)=(-\infty;\tfrac32)\cup(\tfrac32;+\infty).$$

Найдём асимптоты:

$$x=\frac32$$ — вертикальная, а

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{2x-3}=\frac32,$$

поэтому горизонтальная асимптота $$y=\frac32.$$

Для построения возьмём несколько точек:

$$x=-5 \Rightarrow y=1,\qquad x=1 \Rightarrow y=-5,\qquad x=2 \Rightarrow y=8,\qquad x=8 \Rightarrow y=2.$$

График — гипербола с асимптотами $$x=\frac32$$ и $$y=\frac32.$$

$$y=\frac{2x}{2-|x|}$$

Функция нечётная, так как

$$y(-x)=\frac{2(-x)}{2-|-x|}=-\frac{2x}{2-|x|}=-y(x).$$

Область определения: $$2-|x|\ne 0,$$ то есть $$|x|\ne 2,$$ откуда

$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

При $$x>0$$ имеем $$|x|=x,$$ поэтому

$$y=\frac{2x}{2-x}.$$

При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x,$$ поэтому

$$y=\frac{2x}{2+x}.$$

Для построения можно взять точки:

$$x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=2,\qquad x=3 \Rightarrow y=-6,\qquad x=4 \Rightarrow y=-4,\qquad x=6 \Rightarrow y=-3.$$

График состоит из трёх ветвей и симметричен относительно начала координат.