Упр.1578 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\sqrt{\frac{3x^3-22x^2+40x}{x-4}}\ge 3x-10$$

Рассмотрим неравенство

$$\frac{\sqrt{3x^3-22x^2+40x}}{x-4}\ge 3x-10.$$

Область допустимых значений задаётся условиями

$$3x^3-22x^2+40x\ge 0,\qquad x-4\ne 0.$$

Разложим подкоренное выражение на множители:

$$3x^3-22x^2+40x=x(3x^2-22x+40)=x(3x-10)(x-4).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{\sqrt{x(3x-10)(x-4)}}{x-4}\ge 3x-10.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x>4$$, то $$x-4>0$$, и можно умножить обе части неравенства на $$x-4$$ без изменения знака:

   $$\sqrt{x(3x-10)(x-4)}\ge (3x-10)(x-4).$$

   После возведения в квадрат получаем

   $$x(3x-10)(x-4)\ge (3x-10)^2(x-4)^2,$$

   $$(3x-10)(x-4)\bigl(x-(3x-10)(x-4)\bigr)\ge 0.$$

   Так как

   $$x-(3x-10)(x-4)=-3x^2+23x-40=-(3x-8)(x-5),$$

   то

   $$(3x-10)(x-4)(3x-8)(x-5)\le 0.$$

   При $$x>4$$ отсюда получаем

   $$4<x\le 5.$$

2. Если $$x<4$$, то $$x-4<0$$, и при умножении на $$x-4$$ знак неравенства меняется:

   $$\sqrt{x(3x-10)(x-4)}\le (3x-10)(x-4).$$

   После преобразований получаем

   $$(x-\frac83)(3x-10)(x-4)(x-5)\ge 0.$$

   С учётом условия $$x<4$$ и области допустимых значений получаем

   $$0\le x\le \frac83.$$

Объединяя найденные промежутки, получаем

$$x\in \left[0;\frac83\right]\cup(4;5].$$

Ответ

$$x\in \left[0;\frac83\right]\cup(4;5].$$