Упр.1577 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{2x-7}\leq\sqrt{6x+13}$$
2. $$\sqrt{3-x}<\sqrt{3x-5}$$

1. $$\sqrt{2x-7}\le \sqrt{6x+13}$$

   Так как обе части неотрицательны, возведём неравенство в квадрат, учитывая область определения:

   $$\begin{cases} 2x-7\ge 0,\\ 6x+13\ge 0,\\ 2x-7\le 6x+13. \end{cases}$$

   Из последнего неравенства получаем:

   $$2x-7\le 6x+13$$

   $$-4x\le 20$$

   $$x\ge -5.$$

   Из условий существования корней:

   $$2x-7\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{7}{2},$$

   $$6x+13\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac{13}{6}.$$

   Пересечение всех условий:

   $$x\ge \frac{7}{2}.$$

2. $$\sqrt{3-x}<\sqrt{3x-5}$$

   Рассмотрим систему:

   $$\begin{cases} 3-x\ge 0,\\ 3x-5\ge 0,\\ 3-x<3x-5. \end{cases}$$

   Из неравенства подкоренных выражений:

   $$3-x<3x-5$$

   $$-4x<-8$$

   $$x>2.$$

   Из области определения:

   $$3-x\ge 0 \Rightarrow x\le 3,$$

   $$3x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{5}{3}.$$

   Совмещая условия, получаем:

   $$2<x\le 3.$$

Ответ: 1) $$x\ge \frac{7}{2}$$; 2) $$2<x\le 3$$.