Упр.1576 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^3+6x^2+5x-12}>0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x^2-4)(x+1)=(x-2)(x+2)(x+1),$$

$$x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x+3)(x+4).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+3)(x+4)}>0.$$

Критические точки:

$$x=-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,1,\,2.$$

Отметим их на числовой прямой и определим знаки дроби на промежутках. Знак меняется при переходе через каждую из этих точек, так как все множители входят в первой степени.

Получаем, что дробь положительна на промежутках

$$(-\infty;-4),\quad (-3;-2),\quad (-1;1),\quad (2;+\infty).$$

Точки $$x=-4,-3,-2,-1,1,2$$ не входят в ответ, так как в них числитель или знаменатель обращается в нуль.

Ответ

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;-2)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty).$$