Упр.1574 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1574 1)xlg2(x) — 3lgx+1 > 1000;
2) 3lgx+2 < 3lgx2+3-2.

1. Решим неравенство $$x^{\lg^2 x-3\lg x+1}>1000.$$

   Так как основание степени зависит от $$x$$, рассмотрим область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$

   При $$x>1$$ функция $$\log_x t$$ возрастает, а при $$0<x<1$$ — убывает. Поэтому удобно перейти к основанию $$x$$:

   $$\lg^2 x-3\lg x+1>\log_x 1000=\frac{\lg 1000}{\lg x}=\frac{3}{\lg x}.$$

   Положим $$a=\lg x$$. Тогда получаем:

   $$a^2-3a+1>\frac{3}{a}$$
   $$a^3-3a^2+a-3>0$$
   $$a^2(a-3)+(a-3)>0$$
   $$ (a-3)(a^2+1)>0.$$

   Так как $$a^2+1>0$$ при любых $$a$$, то

   $$a-3>0,$$

   то есть

   $$\lg x>3.$$

   Следовательно,

   $$x>1000.$$

2. Решим неравенство $$3^{\lg x+2}<3^{\lg x^2+5}-2.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$3^{\lg x+2}-3^{\lg x^2+5}+2<0.$$

   Положим $$t=3^{\lg x+2}.$$ Тогда $$t>0$$, а также

   $$3^{\lg x^2+5}=3^{2(\lg x+2)}\cdot 3=t^2\cdot 3.$$

   Получаем квадратное неравенство:

   $$3t-t^2+2<0$$
   $$t^2-3t-2>0.$$

   Но удобнее сразу заметить, что при замене $$u=3^{\lg x+2}$$ исходное неравенство сводится к

   $$3u-u^2+2<0,$$

   откуда

   $$u^2-3u-2>0.$$

   Решая это неравенство, получаем $$u>1$$, значит

   $$3^{\lg x+2}>1=3^0,$$

   следовательно,

   $$\lg x+2>0,$$
   $$\lg x>-2,$$
   $$x>10^{-2}=0{,}01.$$

Ответ

1) $$x\in(1000;+\infty)$$; 2) $$x>0{,}01$$.