Упр.1574 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1574. Решить неравенства:
   
   1) $$x\lg^2(x)-3\lg x+1>1000$$;
   
   2) $$3\lg x+2<3\lg x^2+3-2$$.

1) Рассмотрим неравенство $$x^{(\lg x)^2-3\lg x+1}>1000.$$

Так как $$x>0,\quad x\ne 1,$$ то можно взять логарифм по основанию $$x$$:

$$(\lg x)^2-3\lg x+1>\log_x 1000.$$

Поскольку $$\log_x 1000=\dfrac{\lg 1000}{\lg x}=\dfrac{3}{\lg x},$$ получаем

$$(\lg x)^2-3\lg x+1>\dfrac{3}{\lg x}.$$

Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

$$y^2-3y+1>\dfrac{3}{y}.$$

Умножим на $$y^2$$:

$$y^4-3y^3+y^2-3y>0$$

$$y(y^3-3y^2+y-3)>0$$

$$y(y-3)(y^2+1)>0.$$

Так как $$y^2+1>0$$ при любых $$y,$$ то

$$y(y-3)>0.$$

Отсюда

$$y<0 \quad \text{или} \quad y>3.$$

Возвращаясь к $$y=\lg x,$$ получаем

$$\lg x<0 \quad \text{или} \quad \lg x>3,$$

то есть

$$0<x<1 \quad \text{или} \quad x>1000.$$

С учётом области определения ответ:

$$x\in(0;1)\cup(1000;+\infty).$$

2) Рассмотрим неравенство $$3^{\lg x+2}<3^{\lg x^2+5}-2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3^{\lg x+2}-3^{\lg x^2+5}+2<0.$$

Пусть $$t=3^{\lg x+2}.$$ Тогда

$$3^{\lg x^2+5}=3^{2(\lg x+2)}\cdot 3=3t^2.$$

Получаем квадратное неравенство:

$$t-3t^2+2<0$$

$$3t^2-t-2>0.$$

Разложим на множители:

$$3t^2-t-2=(3t+2)(t-1).$$

Тогда

$$(3t+2)(t-1)>0.$$

Так как $$t=3^{\lg x+2}>0,$$ то множитель $$3t+2>0,$$ значит

$$t-1>0,\quad t>1.$$

Следовательно,

$$3^{\lg x+2}>1=3^0,$$

откуда

$$\lg x+2>0,$$

$$\lg x>-2,$$

$$x&gt{0,}01.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$x\in(0{,}01;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(0;1)\cup(1000;+\infty).$$

2) $$x\in(0{,}01;+\infty).$$