Упр.1573 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}3\log_x 2 = y\log_5(y),\\2\log_y 3 = x\log_7(x).\end{cases}$$

Преобразуем систему:

$$3^{\log_x 2}=y^{\log_5 y}, \qquad 2^{\log_y 3}=x^{\log_7 x}.$$

Возьмём логарифмы по основаниям $$3$$ и $$2$$ соответственно:

$$\log_x 2=\log_5 y\cdot \log_3 y,$$

$$\log_y 3=\log_7 x\cdot \log_2 x.$$

Так как $$\log_x 2=\frac{\log_2 2}{\log_2 x}=\frac{1}{\log_2 x},$$ а $$\log_y 3=\frac{\log_3 3}{\log_3 y}=\frac{1}{\log_3 y},$$ получаем систему

$$\frac{1}{\log_2 x}=\log_5 y\cdot \log_3 y,$$

$$\frac{1}{\log_3 y}=\log_7 x\cdot \log_2 x.$$

Из первого уравнения:

$$\log_2 x=\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y},$$

$$x=2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$\frac{1}{\log_3 y}=\log_7\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right)\cdot \log_2\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right).$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_7\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right)=\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}\cdot \log_7 2,$$

$$\log_2\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right)=\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}.$$

Тогда

$$\frac{1}{\log_3 y}=\frac{\log_7 2}{(\log_5 y)^2(\log_3 y)^2}.$$

Отсюда

$$\log_5^2 y\cdot \log_3 y=\frac{1}{\log_2 7}.$$

Переходим к основанию $$5$$:

$$\log_5^2 y\cdot \frac{\log_5 y}{\log_5 3}=\log_7 2,$$

$$\log_5^3 y=\log_5 3\cdot \log_7 2.$$

Следовательно,

$$\log_5 y=\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2},$$

$$y=5^{\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}}.$$

Тогда

$$x=2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}.$$

Так как $$\log_3 y=\frac{\log_5 y}{\log_5 3},$$ то

$$\log_5 y\cdot \log_3 y=\frac{(\log_5 y)^2}{\log_5 3}.$$

Подставляя найденное значение $$\log_5 y$$, получаем

$$\log_2 x=\frac{\log_5 3}{\left(\log_5 3\cdot \log_7 2\right)^{2/3}},$$

откуда

$$x=2^{\frac{\log_5 3}{\left(\log_5 3\cdot \log_7 2\right)^{2/3}}}.$$

Ответ: $$\left(2^{\frac{\log_5 3}{\left(\log_5 3\cdot \log_7 2\right)^{2/3}}},\; 5^{\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}}\right).$$