Упр.1573 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

3logx(2) = ylog5(y),
2logy(3) = xlog7(x).

Подробный ответ

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} 3^{\log_x 2}=y^{\log_5 y},\\ 2^{\log_y 3}=x^{\log_7 x}. \end{cases} $$

Возьмём логарифмы по основаниям $3$ и $2$ соответственно:

$$ \begin{cases} \log_x 2=\log_3 y\cdot \log_5 y,\\ \log_y 3=\log_2 x\cdot \log_7 x. \end{cases} $$

Запишем через натуральные логарифмы:

$$ \begin{cases} \dfrac{\log_2 2}{\log_2 x}=\log_5 y\cdot \log_3 y,\\[6pt] \dfrac{\log_3 3}{\log_3 y}=\log_7 x\cdot \log_2 x. \end{cases} $$

Так как $\log_2 2=\log_3 3=1$, получаем:

$$ \begin{cases} \dfrac{1}{\log_2 x}=\log_5 y\cdot \log_3 y,\\[6pt] \dfrac{1}{\log_3 y}=\log_7 x\cdot \log_2 x. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ \log_2 x=\dfrac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}, $$
$$ x=2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}. $$

Подставим это во второе уравнение:

$$ \dfrac{1}{\log_3 y} = \log_7\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right) \cdot \log_2\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right). $$

Используем свойства логарифмов:

$$ \log_7\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right) = \dfrac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}\cdot \log_7 2, $$
$$ \log_2\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right) = \dfrac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}. $$

Тогда

$$ \dfrac{1}{\log_3 y} = \dfrac{\log_7 2}{(\log_5 y\cdot \log_3 y)^2}. $$

Отсюда

$$ (\log_5 y)^2\cdot \log_3 y=\dfrac{1}{\log_2 7}. $$

Переходим к основанию $5$:

$$ \log_5^2 y\cdot \dfrac{\log_5 y}{\log_5 3}=\log_7 2, $$
$$ \log_5^3 y=\log_5 3\cdot \log_7 2. $$

Следовательно,

$$ \log_5 y=\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}, $$
$$ y=5^{\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}}. $$

Тогда из формулы для $x$:

$$ x=2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}} =2^{\frac{\log_5 3}{\left(\log_5 3\cdot \log_7 2\right)^{2/3}}}. $$

Итак,