Упр.1572 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\begin{cases}6\sin x\cos y+2\cos x\sin y=-3,\\5\sin x\cos y-3\cos x\sin y=1.\end{cases}$$

Положим $$u=\cos x\sin y,\qquad v=\sin x\cos y.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 6v+2u=-3,\\ 5v-3u=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$u$$:

$$u=-\frac{3}{2}-3v.$$

Подставим во второе уравнение:

$$5v-3\left(-\frac{3}{2}-3v\right)=1,$$

$$5v+\frac{9}{2}+9v=1,$$

$$14v=-\frac{7}{2}, \qquad v=-\frac{1}{4}.$$

Тогда

$$u=-\frac{3}{2}-3\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{4}.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} \sin x\cos y=-\frac{1}{4},\\ \cos x\sin y=-\frac{3}{4}. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=-1,$$

то есть

$$\sin(x+y)=-1.$$

Следовательно,

$$x+y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\cos x\sin y-\sin x\cos y=\frac{1}{2},$$

то есть

$$\sin(y-x)=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$y-x=(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m,\qquad m\in\mathbb Z.$$

Решая систему

$$\begin{cases} x+y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y-x=(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m, \end{cases}$$

получаем

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^m\frac{\pi}{12}+\frac{\pi m}{2}+\pi n,$$

$$y=-\frac{\pi}{4}+(-1)^{m+1}\frac{\pi}{12}-\frac{\pi m}{2}+\pi n, \qquad m,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left( -\frac{\pi}{4}+(-1)^m\frac{\pi}{12}+\frac{\pi m}{2}+\pi n;\; -\frac{\pi}{4}+(-1)^{m+1}\frac{\pi}{12}-\frac{\pi m}{2}+\pi n \right),\qquad m,n\in\mathbb Z.$$