Упр.1572 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

система
6 sin х cos у + 2 cos x sin у = — 3,
5 sin x cos y — 3 cos x sin у=1.

Обозначим:

$$u=\cos x\sin y,\qquad v=\sin x\cos y.$$

Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} 6v+2u=-3,\\ 5v-3u=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$u$$:

$$u=-\frac{3}{2}-3v.$$

Подставим во второе:

$$ 5v-3\left(-\frac{3}{2}-3v\right)=1 $$

$$ 5v+\frac{9}{2}+9v=1 $$

$$ 14v=1-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2} $$

$$ v=-\frac{1}{4}. $$

Тогда

$$ u=-\frac{3}{2}-3\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{4}. $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} \sin x\cos y=-\frac{1}{4},\\ \cos x\sin y=-\frac{3}{4}. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ \sin x\cos y+\cos x\sin y=-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1, $$

то есть

$$ \sin(x+y)=-1. $$

Следовательно,

$$ x+y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ \cos x\sin y-\sin x\cos y=-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}, $$

значит

$$ \sin(y-x)=-\frac{1}{2}, $$

или

$$ \sin(x-y)=\frac{1}{2}. $$

Тогда

$$ x-y=(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m,\qquad m\in\mathbb Z. $$

Решая систему

$$ \begin{cases} x+y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\\ x-y=(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m, \end{cases} $$

получаем:

$$ x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n+(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m\right) =-\frac{\pi}{4}+\pi n+\frac{(-1)^m\pi}{12}+\frac{\pi m}{2}, $$

$$ y=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n-(-1)^m\frac{\pi}{6}-\pi m\right) =-\frac{\pi}{4}+\pi n-\frac{(-1)^m\pi}{12}-\frac{\pi m}{2}. $$

Ответ

$$ \left( -\frac{\pi}{4}+\pi n+\frac{(-1)^m\pi}{12}+\frac{\pi m}{2}\,;\, -\frac{\pi}{4}+\pi n-\frac{(-1)^m\pi}{12}-\frac{\pi m}{2} \right),\qquad m,n\in\mathbb Z. $$