Упр.1571 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1571
1) система
xy=yx,
x3=y2;
2) система
x корень x=y,
y корень y=x4;
3) система
x-y=-1/3,
cos2 пиx- sin2 пиy=1/2.

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x^y=y^x,\\ x^3=y^2. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$x=y^{\frac23}.$$ Подставим в первое:
$$ \left(y^{\frac23}\right)^y=y^{y^{\frac23}}. $$
Преобразуем:
$$ y^{\frac{2y}{3}}=y^{y^{\frac23}} \;\Rightarrow\; \frac{2y}{3}=y^{\frac23}. $$
Тогда
$$ y^{\frac23}-\frac{2y}{3}=0 $$
$$ y^{\frac23}\left(1-\frac23 y^{\frac13}\right)=0. $$
1) $$y=0$$ не подходит, так как при этом выражение $$x^y=y^x$$ не имеет смысла.
2) $$1-\frac23 y^{\frac13}=0,$$ откуда
$$ y^{\frac13}=\frac32,\qquad y=\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8}. $$
Тогда
$$ x=y^{\frac23}=\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac23}=\left(\frac32\right)^2=\frac94. $$
Кроме того, очевидно, что $$x=y=1$$ тоже является решением.
$$ \begin{cases} x^{\sqrt y}=y,\\ y^{\sqrt y}=x^4. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x=y^{\frac1{\sqrt y}}. $$
Подставим во второе:
$$ y^{\sqrt y}=\left(y^{\frac1{\sqrt y}}\right)^4=y^{\frac4{\sqrt y}}. $$
Приравниваем показатели:
$$ \sqrt y=\frac4{\sqrt y}. $$
Отсюда
$$ y=4,\qquad x=4^{\frac1{2}}=2. $$
Также подходит решение $$x=y=1.$$
$$ \begin{cases} x-y=-\frac13,\\ \cos^2 \pi x-\sin^2 \pi y=\frac12. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x=y-\frac13. $$
Подставим во второе:
$$ \cos^2\pi\left(y-\frac13\right)-\sin^2\pi y=\frac12. $$
Используем формулу:
$$ \cos\left(\pi y-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cos\pi y+\frac{\sqrt3}{2}\sin\pi y. $$
Тогда после преобразований получаем:
$$ \cos 2\pi y+\sqrt3\sin 2\pi y=2. $$
Это равносильно
$$ \frac12\cos 2\pi y+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2\pi y=1, $$
то есть
$$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi y\right)=1. $$
Следовательно,
$$ \frac{\pi}{6}+2\pi y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
Отсюда
$$ y=\frac16+n,\qquad x=y-\frac13=-\frac16+n,\qquad n\in\mathbb Z. $$