Упр.1571 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1571. Решить систему уравнений:
   
   1) $$\begin{cases}xy=yx,\\x^3=y^2;\end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases}x\sqrt{x}=y,\\y\sqrt{y}=x^4;\end{cases}$$
   
   3) $$\begin{cases}x-y=-\frac{1}{3},\\\cos 2\pi x-\sin 2\pi y=\frac{1}{2}.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^y=y^x,\\ x^3=y^2. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем $$x=y^{\frac23}.$$ Подставим в первое:

$$\left(y^{\frac23}\right)^y=y^{y^{\frac23}}.$$

Тогда

$$y^{\frac{2y}{3}}=y^{y^{\frac23}}.$$

При $$y>0$$ получаем

$$\frac{2y}{3}=y^{\frac23}.$$

Отсюда

$$y^{\frac23}\left(1-\frac23y^{\frac13}\right)=0.$$

1) $$y=0$$ не подходит, так как тогда выражения $$x^y$$ и $$y^x$$ не имеют смысла.

2) $$1-\frac23y^{\frac13}=0,$$ значит

$$y^{\frac13}=\frac32,\qquad y=\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8}.$$

Тогда

$$x=\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac23}=\left(\frac32\right)^2=\frac94.$$

Кроме того, очевидно, что $$x=y=1$$ тоже является решением.

Ответ: $$\left(\frac94;\frac{27}{8}\right),\ (1;1).$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^{\sqrt y}=y,\\ y^{\sqrt y}=x^4. \end{cases}$$

Положим $$t=\sqrt y$$, тогда $$y=t^2$$ и система принимает вид

$$\begin{cases} x^t=t^2,\\ t^{2t}=x^4. \end{cases}$$

Из первого уравнения

$$x=t^{\frac{2}{t}}.$$

Подставим во второе:

$$t^{2t}=\left(t^{\frac{2}{t}}\right)^4=t^{\frac{8}{t}}.$$

При $$t>0$$ имеем

$$2t=\frac{8}{t},$$

откуда

$$t^2=4,\qquad t=2.$$

Следовательно,

$$y=t^2=4,\qquad x=4^{\frac{2}{2}}=2.$$

Также подходит очевидное решение $$x=y=1$$.

Ответ: $$(2;4),\ (1;1).$$

3) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x-y=-\frac13,\\ \cos^2\pi x-\sin^2\pi y=\frac12. \end{cases}$$

Из первого уравнения

$$x=y-\frac13.$$

Подставим во второе:

$$\cos^2\pi\left(y-\frac13\right)-\sin^2\pi y=\frac12.$$

Используем формулу

$$\cos\left(\pi y-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\pi y\cdot\cos\frac{\pi}{3}+\sin\pi y\cdot\sin\frac{\pi}{3},$$

тогда

$$\left(\frac12\cos\pi y+\frac{\sqrt3}{2}\sin\pi y\right)^2-\sin^2\pi y=\frac12.$$

После преобразований получаем

$$\cos2\pi y+\sqrt3\sin2\pi y=2.$$

Запишем левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\frac12\cos2\pi y+\frac{\sqrt3}{2}\sin2\pi y=1,$$

то есть

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi y\right)=1.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{6}+2\pi y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$2\pi y=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\frac16+n.$$

Тогда

$$x=y-\frac13=-\frac16+n.$$

Ответ: $$\left(-\frac16+n;\ \frac16+n\right),\ n\in\mathbb Z.$$