Упр.1570 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для всех значений параметра $$a$$ решить систему уравнений:
   $$\begin{cases} a^2-2\sqrt[3]{|a|}+x^2+2xy-y^2-2=0,\\ x^2+y^2-2y-\cos(xy)+11-6a+a^2=0. \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение системы:

$$x^2+y^2-2y-\cos(xy)+11-6a+a^2=0$$

$$x^2+(y^2-2y+1)+(a^2-6a+9)+(1-\cos(xy))=0$$

$$x^2+(y-1)^2+(a-3)^2+(1-\cos(xy))=0$$

Все слагаемые в левой части неотрицательны, так как

$$x^2\ge 0,\quad (y-1)^2\ge 0,\quad (a-3)^2\ge 0,\quad 1-\cos(xy)\ge 0.$$

Сумма неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. Значит,

$$x^2=0,\quad (y-1)^2=0,\quad (a-3)^2=0,\quad 1-\cos(xy)=0.$$

Отсюда

$$x=0,\quad y=1,\quad a=3.$$

Проверим первое уравнение:

$$a^2-2\sqrt{3|a|}\,y+x^2+2xy-y^2-2=0.$$

Подставим $$x=0,\ y=1,\ a=3$$:

$$9-2\sqrt{9}\cdot 1+0+0-1-2=9-6-1-2=0.$$

Следовательно, найденная тройка действительно является решением системы.

Ответ

$$x=0,\ y=1,\ a=3.$$