Упр.157 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^3+x^2}=0$$
2. $$\sqrt[3]{1+x^4}=\sqrt[3]{1+x^2}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^3+x^2}=0.$$

Оба слагаемых неотрицательны, значит их сумма равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$\sqrt{x^2+2}=0,\qquad \sqrt{x^3+x^2}=0.$$

Тогда

$$x^2+2=0,$$

что невозможно для действительных чисел. Следовательно, решений нет.

2) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt[3]{1+x^4}=\sqrt[3]{1+x^2}.$$

Возведём обе части в куб:

$$1+x^4=1+x^2.$$

Получаем

$$x^4-x^2=0,$$

$$x^2(x^2-1)=0,$$

$$x^2(x-1)(x+1)=0.$$

Отсюда

$$x=0,\quad x=1,\quad x=-1.$$

Ответ: 1) решений нет; 2) $$x=-1,\,0,\,1.$$