Упр.1569 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Решить системы уравнений и установить, при каких значениях параметров $$a$$ и $$b$$ они имеют решение:
1) $$\begin{cases}\log_y x+\log_x y=\frac{5}{2},\\ x+y=a+a^2;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}x^2+y^2=a^2,\\ \log_b x+\log_b y=2.\end{cases}$$
1) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \log_y x+\log_x y=\dfrac52,\\ x+y=a+a^2. \end{cases}$$
Положим $$t=\log_y x.$$ Тогда $$\log_x y=\dfrac1t,$$ и первое уравнение принимает вид
$$t+\frac1t=\frac52.$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-5t+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},$$
откуда
$$t_1=\frac12,\qquad t_2=2.$$
Значит, либо
$$\log_y x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt y,$$
либо
$$\log_y x=2 \Rightarrow x=y^2.$$
1.1. Если $$x=\sqrt y,$$ то из второго уравнения
$$\sqrt y+y=a+a^2.$$
Положим $$u=\sqrt y\ge 0.$$ Тогда $$y=u^2,$$ и получаем
$$u+u^2=a+a^2,$$
$$u^2+u-(a+a^2)=0.$$
Дискриминант:
$$D=1+4(a+a^2)=(2a+1)^2.$$
Тогда
$$u=\frac{-1\pm(2a+1)}{2},$$
то есть
$$u=a \quad \text{или} \quad u=-a-1.$$
Так как $$u\ge 0,$$ получаем:
- при $$a>0$$: $$u=a,\; y=a^2,\; x=a;$$
- при $$a<-1$$: $$u=-a-1,\; y=(a+1)^2,\; x=-a-1.$$
1.2. Если $$x=y^2,$$ то
$$y^2+y=a+a^2.$$
Аналогично получаем
$$y=a \quad \text{или} \quad y=-a-1.$$
Тогда
- при $$a>0$$: $$y=a,\; x=a^2;$$
- при $$a<-1$$: $$y=-a-1,\; x=(a+1)^2.$$
Следовательно, система имеет решение при
$$a>0 \quad \text{или} \quad a<-1.$$
При этом решения:
$$(a,a^2),\ (a^2,a) \quad \text{при } a>0;$$
$$(-a-1,(a+1)^2),\ ((a+1)^2,-a-1) \quad \text{при } a<-1.$$
2) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ \log_b x+\log_b y=2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\log_b(xy)=2,$$
то есть
$$xy=b^2.$$
Тогда
$$x=\frac{b^2}{y}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\left(\frac{b^2}{y}\right)^2+y^2=a^2.$$
Умножим на $$y^2$$:
$$b^4+y^4=a^2y^2.$$
Положим $$z=y^2.$$ Тогда
$$z^2-a^2z+b^4=0.$$
Дискриминант:
$$D=a^4-4b^4.$$
Отсюда
$$z_{1,2}=\frac{a^2\pm\sqrt{a^4-4b^4}}{2}.$$
Так как $$z=y^2,$$ то
$$y=\pm\sqrt{\frac{a^2\pm\sqrt{a^4-4b^4}}{2}}.$$
Для существования решения нужно:
- $$b>0,\; b\ne 1$$ — чтобы логарифм был определён;
- $$x>0,\; y>0$$;
- $$a^4-4b^4\ge 0.$$
Из условия положительности корней получаем
$$a^2\ge 2b^2\sqrt2,$$
то есть
$$a^2\ge 2\sqrt2\,b^2.$$
Тогда решения можно записать так:
$$\left(\sqrt{\frac{a^2-\sqrt{a^4-4b^4}}{2}},\ \sqrt{\frac{a^2+\sqrt{a^4-4b^4}}{2}}\right),$$
$$\left(\sqrt{\frac{a^2+\sqrt{a^4-4b^4}}{2}},\ \sqrt{\frac{a^2-\sqrt{a^4-4b^4}}{2}}\right).$$
Итак, система имеет решение при
$$b>0,\quad b\ne 1,\quad a^2\ge 2\sqrt2\,b^2.$$
Ответ
1) $$a>0$$ или $$a<-1$$; решения: $$(a,a^2),\ (a^2,a)$$ при $$a>0$$ и $$(-a-1,(a+1)^2),\ ((a+1)^2,-a-1)$$ при $$a<-1$$.
2) $$b>0,\ b\ne 1,\ a^2\ge 2\sqrt2\,b^2$$; решения указаны выше.
