Упр.1568 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Уравнение $$2x^3+mx^2+nx+12=0$$ имеет корни $$x_1=1$$, $$x_2=-2$$. Найти третий корень этого уравнения.

Подставим известные корни $$x_1=1$$ и $$x_2=-2$$ в уравнение $$2x^3+mx^2+nx+12=0.$$

При $$x=1$$ получаем:

$$2\cdot 1^3+m\cdot 1^2+n\cdot 1+12=0,$$

откуда

$$m+n+14=0.$$

При $$x=-2$$ получаем:

$$2\cdot(-2)^3+m\cdot(-2)^2+n\cdot(-2)+12=0,$$

то есть

$$-16+4m-2n+12=0,$$

$$4m-2n-4=0,$$

или

$$2m-n-1=0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} m+n+14=0,\\ 2m-n-1=0. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$3m+13=0,$$

$$m=-\frac{13}{3}.$$

Тогда

$$n=-14-m=-14+\frac{13}{3}=-\frac{29}{3}.$$

Теперь найдём третий корень. По теореме Виета для уравнения

$$2x^3+mx^2+nx+12=0$$

сумма корней равна

$$x_1+x_2+x_3=-\frac{m}{2}.$$

Подставим найденное значение $$m$$:

$$1+(-2)+x_3=-\frac{-13/3}{2}=\frac{13}{6}.$$

Тогда

$$-1+x_3=\frac{13}{6},$$

$$x_3=\frac{19}{6}.$$

Ответ: $$x_3=\frac{19}{6}.$$