Упр.1566 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1566 log2 (4 cos x + 3) log6 (4 cos x + 3) = log2 (4 cos x + 3) + + log6 (4 cos x + 3). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1566 1111

Пусть $$a=4\cos x+3,$$ тогда $$a>0.$$ Получаем уравнение

$$\log_2 a\cdot \log_6 a=\log_2 a+\log_6 a.$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$\log_2 a\cdot \log_6 a-\log_2 a-\log_6 a=0,$$

$$\log_2 a(\log_6 a-1)-\log_6 a=0,$$

$$\log_2 a\left(\log_6 a-\log_6 6\right)-\log_6 a=0,$$

$$\frac{\log_6 a}{\log_6 2}\cdot \log_6 \frac{a}{6}-\log_6 a=0,$$

$$\log_6 a\cdot \log_6 \frac{a}{12}=0.$$

Отсюда:

$$\log_6 a=0 \quad \text{или} \quad \log_6 \frac{a}{12}=0.$$

1) $$\log_6 a=0 \Rightarrow a=1,$$ тогда

$$4\cos x+3=1,$$

$$4\cos x=-2,$$

$$\cos x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) $$\log_6 \frac{a}{12}=0 \Rightarrow a=12,$$ тогда

$$4\cos x+3=12,$$

$$4\cos x=9,$$

$$\cos x=\frac94,$$

что невозможно.

Ответ

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$