Упр.1566 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\log_2(4\cos x+3)\log_6(4\cos x+3)=\log_2(4\cos x+3)+\log_6(4\cos x+3)$$

Пусть $$y=4\cos x+3,$$ тогда $$y>0.$$

Получаем уравнение

$$\log_2 y\cdot \log_6 y=\log_2 y+\log_6 y.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\log_2 y\cdot \log_6 y-\log_2 y-\log_6 y=0,$$

$$\log_2 y\left(\log_6 y-1\right)-\log_6 y=0,$$

$$\log_2 y\left(\log_6 y-\log_6 6\right)-\log_6 y=0,$$

$$\log_2 y\cdot \log_6\frac{y}{6}-\log_6 y=0,$$

$$\log_6 y\left(\log_6\frac{y}{6}-\log_6 2\right)=0,$$

$$\log_6 y\cdot \log_6\frac{y}{12}=0.$$

Отсюда возможны два случая:

1. $$\log_6 y=0,$$ тогда $$y=1,$$ и

   $$4\cos x+3=1,$$

   $$4\cos x=-2,$$

   $$\cos x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\log_6\frac{y}{12}=0,$$ тогда $$\frac{y}{12}=1,$$ то есть $$y=12.$$

   Получаем

   $$4\cos x+3=12,$$

   $$4\cos x=9,$$

   $$\cos x=\frac94,$$

   что невозможно, так как $$|\cos x|\le 1.$$

Следовательно, подходит только первый случай.

Ответ: $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$