Упр.1565 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin 3x}=2\cos 2x$$

Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin 3x}=2\cos 2x.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{\sin^2 3x-\sin^2 x}{\sin x\cdot \sin 3x}=2\cos 2x.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{(\sin 3x-\sin x)(\sin 3x+\sin x)}{\sin x\cdot \sin 3x}=2\cos 2x.$$

По формулам суммы и разности синусов:

$$\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x,$$

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$\frac{2\cos 2x\sin x\cdot 2\sin 2x\cos x}{\sin x\cdot \sin 3x}=2\cos 2x.$$

После преобразований получаем

$$2\cos 2x\bigl(4\sin x\cos^2 x-\sin 3x\bigr)=0.$$

Следовательно, возможны два случая:

1. $$\cos 2x=0;$$
2. $$4\sin x\cos^2 x-\sin 3x=0.$$

1) Если $$\cos 2x=0,$$ то

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$4\sin x\cos^2 x-\sin 3x=0,$$ то, используя формулу

$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x,$$

получаем

$$4\sin x(1-\sin^2 x)-(3\sin x-4\sin^3 x)=0,$$

$$4\sin x-4\sin^3 x-3\sin x+4\sin^3 x=0,$$

$$\sin x=0.$$

Но при $$\sin x=0$$ исходное выражение не имеет смысла, поэтому этот случай не подходит.

Проверим область допустимых значений: $$\sin x\ne 0$$ и $$\sin 3x\ne 0.$$

Значения $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ этим условиям удовлетворяют.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$