Упр.1562 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$x^3-3x^2+x=3$$
2. $$x^3-3x^2-4x+12=0$$
3. $$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=0$$

1) $$x^3-3x^2+x=3$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^3-3x^2+x-3=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^2(x-3)+(x-3)=0$$

$$(x-3)(x^2+1)=0$$

Отсюда:

$$x-3=0 \quad \text{или} \quad x^2+1=0$$

$$x=3$$

Действительных корней у уравнения $$x^2+1=0$$ нет.

2) $$x^3-3x^2-4x+12=0$$

Сгруппируем:

$$x^2(x-3)-4(x-3)=0$$

$$(x-3)(x^2-4)=0$$

$$(x-3)(x-2)(x+2)=0$$

Следовательно,

$$x=3,\; x=2,\; x=-2$$

3) $$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=0$$

Разложим на множители группировкой:

$$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=(x^4-4x^3+2x^2-8x)+(x^3-4x^2+2x-8)$$

$$=x(x^3-4x^2+2x-8)+(x^3-4x^2+2x-8)$$

$$=(x+1)(x^3-4x^2+2x-8)$$

$$=(x+1)\bigl(x^2(x-4)+2(x-4)\bigr)$$

$$=(x+1)(x-4)(x^2+2)=0$$

Отсюда:

$$x=-1,\; x=4,\; x^2+2=0$$

Уравнение $$x^2+2=0$$ не имеет действительных корней.

Ответ

1) $$x=3$$

2) $$x=-2,\;2,\;3$$

3) $$x=-1,\;4$$