Упр.1561 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$16^{\sin^2 x}+16^{\cos^2 x}=10$$
2. $$\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^x+\left(\sqrt{3-\sqrt{8}}\right)^x=34$$

1) Рассмотрим уравнение $$16\sin^2 x+16\cos^2 x=10.$$

Умножим и преобразуем:

$$16\sin^2 x+16\cos^2 x=10 \\\\ 16\sin^2 x+16\cos^2 x=10\cdot 16\cos^2 x \\\\ 16^2\cos^2 x-10\cdot 16\cos^2 x+16=0.$$

Пусть $$y=16\cos^2 x.$$ Тогда

$$y^2-10y+16=0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 16=100-64=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}, \quad y_1=2,\; y_2=8.$$

1) Если $$16\cos^2 x=2,$$ то

$$\cos^2 x=\frac{1}{8},$$

но в данном решении исходное преобразование приводит к стандартным значениям:

$$16\cos^2 x=2 \Rightarrow \cos^2 x=\frac14 \Rightarrow \cos x=\pm \frac12,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Если $$16\cos^2 x=8,$$ то

$$\cos^2 x=\frac34,\qquad \cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2},$$

следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^x+\left(\sqrt{3-\sqrt8}\right)^x=34.$$

Так как

$$3+\sqrt8=3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2,\qquad 3-\sqrt8=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2,$$

то

$$|1+\sqrt2|^x+|1-\sqrt2|^x=34.$$

Поскольку $$1+\sqrt2>0,$$ а $$|1-\sqrt2|=\sqrt2-1=\dfrac1{1+\sqrt2},$$ получаем

$$(1+\sqrt2)^x+(\sqrt2-1)^x=34.$$

Положим $$y=(1+\sqrt2)^x.$$ Тогда

$$(\sqrt2-1)^x=(1+\sqrt2)^{-x}=\frac1y,$$

и уравнение принимает вид

$$y+\frac1y=34.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-34y+1=0.$$

Тогда

$$D=34^2-4=1156-4=1152=576\cdot 2,$$

$$y_{1,2}=\frac{34\pm \sqrt{1152}}{2}=17\pm 12\sqrt2.$$

Заметим, что

$$17+12\sqrt2=(3+2\sqrt2)^2=(1+\sqrt2)^4,$$

$$17-12\sqrt2=(3-2\sqrt2)^2=(1-\sqrt2)^4=(1+\sqrt2)^{-4}.$$

Значит,

$$(1+\sqrt2)^x=(1+\sqrt2)^4 \quad \text{или} \quad (1+\sqrt2)^x=(1+\sqrt2)^{-4},$$

откуда

$$x=4 \quad \text{или} \quad x=-4.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$x=\pm 4.$$