Упр.1560 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1560. Решить уравнение (1560—1566).
   1) $$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=6$$;
   2) $$\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2}=7$$;
   3) $$\sqrt[4]{8-x}+\sqrt[4]{89+x}=5$$.

1) $$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=6$$

Преобразуем корни:

$$\sqrt{(x+2)^2}-\sqrt{(x-3)^2}=6$$

$$|x+2|-|x-3|=6$$

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$x\ge 3,$$ то

   $$x+2-(x-3)=6$$

   $$5=6,$$

   что невозможно.

2. Если $$-2\le x<3,$$ то

   $$x+2-(3-x)=6$$

   $$2x-1=6$$

   $$x=\frac{7}{2},$$

   но это значение не принадлежит промежутку $$[-2;3).$$

3. Если $$x<-2,$$ то

   $$-(x+2)-(3-x)=6$$

   $$-5=6,$$

   что невозможно.

Следовательно, корней нет.

2) $$\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2}=7$$

Пусть $$a=\sqrt[3]{8-x},\quad b=\sqrt[3]{27+x}.$$ Тогда

$$a^2-ab+b^2=7,$$

а также

$$a^3+b^3=(8-x)+(27+x)=35.$$

Используем формулу:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$35=(a+b)\cdot 7,$$

$$a+b=5.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a+b=5,\\ a^2-ab+b^2=7. \end{cases}$$

Подставим $$b=5-a$$:

$$a^2-a(5-a)+(5-a)^2=7$$

$$3a^2-15a+18=0$$

$$a^2-5a+6=0$$

$$(a-2)(a-3)=0.$$

Значит, $$a=2$$ или $$a=3.$$

1) Если $$a=2,$$ то

$$\sqrt[3]{8-x}=2 \Rightarrow 8-x=8 \Rightarrow x=0.$$

2) Если $$a=3,$$ то

$$\sqrt[3]{8-x}=3 \Rightarrow 8-x=27 \Rightarrow x=-19.$$

Ответ: $$x=0$$ или $$x=-19.$$

3) $$\sqrt[4]{8-x}+\sqrt[4]{89+x}=5$$

Область определения:

$$8-x\ge 0,\quad 89+x\ge 0,$$

откуда

$$-89\le x\le 8.$$

Пусть

$$a=\sqrt[4]{8-x},\quad b=\sqrt[4]{89+x}.$$

Тогда

$$a+b=5,$$

$$a^4+b^4=97.$$

Возведём сумму в квадрат:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25.$$

Обозначим $$s=a^2+b^2.$$ Тогда

$$s+2ab=25,$$

а также

$$s^2-2a^2b^2=97.$$

Удобнее воспользоваться заменой $$b=5-a$$:

$$a^4+(5-a)^4=97.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$2a^4-20a^3+150a^2-500a+528=0,$$

$$a^4-10a^3+75a^2-250a+264=0,$$

$$(a-2)(a-3)(a^2-5a+44)=0.$$

Так как $$a\ge 0,$$ то из действительных корней подходят $$a=2$$ и $$a=3.$$

1) Если $$a=2,$$ то

$$\sqrt[4]{8-x}=2 \Rightarrow 8-x=16 \Rightarrow x=-8.$$

2) Если $$a=3,$$ то

$$\sqrt[4]{8-x}=3 \Rightarrow 8-x=81 \Rightarrow x=-73.$$

Ответ: $$x=-8$$ или $$x=-73.$$

Ответ

1) Корней нет; 2) $$x=0,\,-19$$; 3) $$x=-8,\,-73$$.