Упр.156 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}$$
2. $$\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8$$
3. $$\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6$$
4. $$\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1$$

1) $$\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2x-34=(1+\sqrt{x})^2$$

$$2x-34=1+2\sqrt{x}+x$$

$$x-35=2\sqrt{x}$$

$$\left(x-35\right)^2=4x$$

$$x^2-70x+1225=4x$$

$$x^2-74x+1225=0$$

$$D=74^2-4\cdot1225=576$$

$$x=\frac{74\pm24}{2}$$

$$x_1=49,\quad x_2=25$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=49$$.

2) $$\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8$$

Возведём обе части в квадрат:

$$5x+14-x+2\sqrt{5x(14-x)}=64$$

$$2\sqrt{5x(14-x)}=50-4x$$

$$4\bigl(70x-5x^2\bigr)=(50-4x)^2$$

$$280x-20x^2=2500-400x+16x^2$$

$$9x^2-170x+625=0$$

$$D=170^2-4\cdot9\cdot625=6400$$

$$x=\frac{170\pm80}{18}$$

$$x_1=5,\quad x_2=\frac{250}{18}$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=5$$.

3) $$\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6$$

Возведём обе части в квадрат:

$$15+x+3+x+2\sqrt{(15+x)(3+x)}=36$$

$$2\sqrt{x^2+18x+45}=18-2x$$

$$4(x^2+18x+45)=(18-2x)^2$$

$$4x^2+72x+180=324-72x+4x^2$$

$$144x=144$$

$$x=1$$

Проверка верна.

4) $$\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3-2x-2\sqrt{(3-2x)(1-x)}+1-x=1$$

$$3-3x=2\sqrt{3-5x+2x^2}$$

$$\left(3-3x\right)^2=4\left(3-5x+2x^2\right)$$

$$9-18x+9x^2=12-20x+8x^2$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$D=16$$

$$x=\frac{-2\pm4}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=1$$

Оба корня подходят при проверке.

Ответ

1) $$x=49$$; 2) $$x=5$$; 3) $$x=1$$; 4) $$x=-3,\ 1$$.