Упр.1559 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти первообразную функции: 1) $$y=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$$; 2) $$y=\frac{3}{4x-1}$$.

1) Для функции $$y=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$$ находим первообразную по частям:

$$F(x)=\int \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right)\,dx=\int \frac{1}{x+1}\,dx-\int \frac{1}{x-1}\,dx$$

$$F(x)=\ln|x+1|-\ln|x-1|+C=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C$$

2) Для функции $$y=\frac{3}{4x-1}$$:

$$F(x)=\int \frac{3}{4x-1}\,dx$$

Сделаем замену: $$u=4x-1,\quad du=4\,dx,\quad dx=\frac{du}{4}.$$ Тогда

$$F(x)=\frac{3}{4}\int \frac{du}{u}=\frac{3}{4}\ln|u|+C=\frac{3}{4}\ln|4x-1|+C$$

Ответ

1) $$F(x)=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C$$

2) $$F(x)=\frac{3}{4}\ln|4x-1|+C$$