Упр.1557 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти значения $$x$$, при которых $$f'(x)\leqslant g'(x)$$, если $$f(x)=x^3+x^2+x\sqrt{3}$$, $$g(x)=x\sqrt{3}+1$$.

Найдём производные функций:

$$f(x)=x^3+x^2+x\sqrt{3}, \qquad g(x)=x\sqrt{3}+1$$

$$f'(x)=3x^2+2x+\sqrt{3}, \qquad g'(x)=\sqrt{3}$$

Тогда неравенство $$f'(x)\le g'(x)$$ принимает вид:

$$3x^2+2x+\sqrt{3}\le \sqrt{3}$$

$$3x^2+2x\le 0$$

$$x(3x+2)\le 0$$

Нули произведения: $$x=0$$ и $$x=-\frac{2}{3}$$.

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то произведение неположительно между корнями:

$$x\in\left[-\frac{2}{3};\,0\right]$$

Ответ: $$x\in\left[-\frac{2}{3};\,0\right]$$