Упр.1556 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Дана функция $$f(x)=\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}$$. Найти $$f'(x)$$, $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right)$$.
Найдём производную по правилу производной частного:
$$f(x)=\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}$$
$$f'(x)=\frac{(1+\sin 2x)'(1-\sin 2x)-(1+\sin 2x)(1-\sin 2x)’}{(1-\sin 2x)^2}$$
$$f'(x)=\frac{2\cos 2x\,(1-\sin 2x)-(1+\sin 2x)(-2\cos 2x)}{(1-\sin 2x)^2}$$
$$f'(x)=\frac{2\cos 2x\,(1-\sin 2x)+2\cos 2x\,(1+\sin 2x)}{(1-\sin 2x)^2}$$
$$f'(x)=\frac{2\cos 2x\,(1-\sin 2x+1+\sin 2x)}{(1-\sin 2x)^2} =\frac{4\cos 2x}{(1-\sin 2x)^2}$$
Теперь найдём значение производной при $$x=\frac{\pi}{6}$$:
$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\cos\frac{\pi}{3}}{\left(1-\sin\frac{\pi}{3}\right)^2} =\frac{4\cdot \frac12}{\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac{2}{\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac{8}{(2-\sqrt3)^2}$$
$$\frac{8}{(2-\sqrt3)^2} =\frac{8}{4-4\sqrt3+3} =\frac{8}{7-4\sqrt3} =\frac{8(7+4\sqrt3)}{49-48} =8(7+4\sqrt3)$$
Ответ: $$f'(x)=\frac{4\cos 2x}{(1-\sin 2x)^2},\quad f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=8(7+4\sqrt3).$$
