Упр.1556 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1556 Дана функция f (x) =(1+sin2x)/(1-sin2x). Найти f'(x), f'(пи/6).

Найдём производную по правилу производной частного:

$$ f(x)=\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x} $$
$$ f'(x)=\frac{(1+\sin 2x)'(1-\sin 2x)-(1+\sin 2x)(1-\sin 2x)’}{(1-\sin 2x)^2} $$
$$ f'(x)=\frac{2\cos 2x\,(1-\sin 2x)-(1+\sin 2x)(-2\cos 2x)}{(1-\sin 2x)^2} $$
$$ f'(x)=\frac{2\cos 2x\,(1-\sin 2x+1+\sin 2x)}{(1-\sin 2x)^2} =\frac{4\cos 2x}{(1-\sin 2x)^2} $$

Теперь подставим нужные значения:

$$ f'(0)=\frac{4\cos 0}{(1-\sin 0)^2}=\frac{4\cdot 1}{1^2}=4 $$
$$ f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\cos \frac{\pi}{3}}{\left(1-\sin \frac{\pi}{3}\right)^2} =\frac{4\cdot \frac12}{\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac{2}{\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac{8}{(2-\sqrt3)^2} $$
$$ \frac{8}{(2-\sqrt3)^2} =\frac{8}{4-4\sqrt3+3} =\frac{8}{7-4\sqrt3} =\frac{8(7+4\sqrt3)}{49-48} =8(7+4\sqrt3) $$

Ответ

$$ f'(x)=\frac{4\cos 2x}{(1-\sin 2x)^2},\qquad f'(0)=4,\qquad f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=8(7+4\sqrt3) $$