Упр.1555 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Определить знак числа $$f'(2)$$, если:
- $$f(x)=e^{3-2x}\cdot x^2$$;
- $$f(x)=\frac{x^2}{e^{1-x}}$$.
1) $$f(x)=e^{3-2x}\cdot x^2$$
Найдём производную по правилу произведения:
$$f'(x)=\left(e^{3-2x}\right)’x^2+e^{3-2x}(x^2)’ \\\\ f'(x)=-2e^{3-2x}x^2+2xe^{3-2x} \\\\ f'(x)=2xe^{3-2x}(1-x)$$
Подставим $$x=2$$:
$$f'(2)=2\cdot 2\cdot e^{3-4}(1-2)=4e^{-1}\cdot(-1)=-\frac{4}{e}$$
Следовательно, $$f'(2)<0$$.
2) $$f(x)=\dfrac{x^2}{e^{1-x}}$$
Перепишем функцию как частное и найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2)’e^{1-x}-x^2\left(e^{1-x}\right)’}{\left(e^{1-x}\right)^2}$$
Так как $$\left(e^{1-x}\right)’=-e^{1-x}$$, получаем:
$$f'(x)=\frac{2xe^{1-x}-x^2(-e^{1-x})}{\left(e^{1-x}\right)^2} =\frac{2x+x^2}{e^{1-x}}$$
Подставим $$x=2$$:
$$f'(2)=\frac{2\cdot 2+2^2}{e^{1-2}}=\frac{4+4}{e^{-1}}=8e$$
Следовательно, $$f'(2)>0$$.
Ответ: 1) $$f'(2)<0$$; 2) $$f'(2)>0$$.
