Упр.1548 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.

Пусть угол поворота колеса задаётся формулой $$\varphi(t)=kt^3,$$ где $$k$$ — постоянный коэффициент.

Так как первый оборот был сделан за $$2$$ с, то за это время угол поворота равен $$2\pi$$:

$$\varphi(2)=k\cdot 2^3=2\pi,$$

откуда

$$8k=2\pi,\qquad k=\frac{\pi}{4}.$$

Угловая скорость равна производной угла поворота:

$$\omega(t)=\varphi'(t)=\left(\frac{\pi}{4}t^3\right)’=\frac{3\pi}{4}t^2.$$

Тогда через $$4$$ с после начала вращения:

$$\omega(4)=\frac{3\pi}{4}\cdot 4^2=\frac{3\pi}{4}\cdot 16=12\pi.$$

Ответ: $$12\pi$$ рад/с.