Упр.1543 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$:
- 1) $$f(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+x$$, $$x_0=\frac{1}{3}$$; 2) $$f(x)=\frac{\ln x}{x}$$, $$x_0=1$$; 3) $$f(x)=x^{-3}-\frac{2}{x^2}+3x$$, $$x_0=3$$; 4) $$f(x)=\frac{\cos x}{\sin x}$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$.
1) $$f(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+x,\quad x_0=\frac13$$
$$f'(x)=3x^2-x+1$$
$$f’\!\left(\frac13\right)=3\cdot\frac19-\frac13+1=\frac13-\frac13+1=1$$
Ответ: $$1$$
2) $$f(x)=\frac{\ln x}{x},\quad x_0=1$$
$$f'(x)=\frac{(\ln x)’\cdot x-\ln x\cdot (x)’}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$
$$f'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=1$$
Ответ: $$1$$
3) $$f(x)=x^{-3}-\frac{2}{x^2}+3x,\quad x_0=3$$
$$f'(x)=-3x^{-4}+4x^{-3}+3=-\frac{3}{x^4}+\frac{4}{x^3}+3$$
$$f'(3)=-\frac{3}{3^4}+\frac{4}{3^3}+3=-\frac{3}{81}+\frac{4}{27}+3=-\frac{1}{27}+\frac{4}{27}+3=\frac{1}{9}+3=3\frac19$$
Ответ: $$3\frac19$$
4) $$f(x)=\frac{\cos x}{\sin x},\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$
$$f'(x)=\frac{(\cos x)’\sin x-\cos x\cdot(\sin x)’}{\sin^2 x}=\frac{-\sin x\cdot\sin x-\cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x}$$
$$f'(x)=-\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin^2 x}$$
$$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-2$$
Ответ: $$-2$$
