Упр.1542 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Фигура ограничена линиями $$y=\cos x,$$ $$y=0,$$ $$x=\frac{\pi}{4}.$$

Найдём точку пересечения графика $$y=\cos x$$ с осью $$Ox$$:

$$\cos x=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/4}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/2}^{\pi/4} =\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\sqrt2}{2}+1 =\frac{2+\sqrt2}{2}.$$

2) Фигура ограничена линиями $$y=3^x,$$ $$y=0,$$ $$x=-1,$$ $$x=1.$$

Площадь равна

$$S=\int\limits_{-1}^{1}3^x\,dx=\frac{3^x}{\ln 3}\Big|_{-1}^{1} =\frac{3}{\ln 3}-\frac{1}{3\ln 3} =\frac{8}{3\ln 3}.$$

Ответ

1) $$\frac{2+\sqrt2}{2}$$; 2) $$\frac{8}{3\ln 3}$$.