Упр.1541 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=9-x^2,\quad y=(x-1)^2-4$$
2. $$y=x^2,\quad y=\sqrt[3]{x}$$

1. Найдём точки пересечения графиков $$y=9-x^2$$ и $$y=(x-1)^2-4.$$

   $$9-x^2=(x-1)^2-4$$
   $$9-x^2=x^2-2x+1-4$$
   $$9-x^2=x^2-2x-3$$
   $$2x^2-2x-12=0$$
   $$x^2-x-6=0$$
   $$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=3.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-2}^{3}\Bigl((9-x^2)-\bigl((x-1)^2-4\bigr)\Bigr)\,dx$$
   $$=\int_{-2}^{3}(12-2x^2+2x)\,dx$$
   $$=\left(12x-\frac{2x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{-2}^{3}$$
   $$=\left(36-18+9\right)-\left(-24+\frac{16}{3}+4\right)$$
   $$=27-\left(-\frac{44}{3}\right)=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}.$$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2$$ и $$y=\sqrt[3]{x}.$$

   $$x^2=\sqrt[3]{x}$$
   $$x^6=x$$
   $$x(x^5-1)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=1.$$

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположен график $$y=\sqrt[3]{x}$$, снизу — график $$y=x^2.$$ Тогда

   $$S=\int_{0}^{1}\left(\sqrt[3]{x}-x^2\right)\,dx$$
   $$=\int_{0}^{1}\left(x^{1/3}-x^2\right)\,dx$$
   $$=\left(\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}$$
   $$=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}.$$

Ответ: 1) $$41\frac{2}{3}$$; 2) $$\frac{5}{12}$$.