Упр.1540 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Найдём точку пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2$$:

$$\sqrt{x}=2,\quad x=4.$$

Искомая площадь:

$$S=\int_{4}^{9}(\sqrt{x}-2)\,dx =\int_{4}^{9}\left(x^{1/2}-2\right)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-2x\right)\Bigg|_{4}^{9}.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-18\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-8\right) =\left(\frac{2}{3}\cdot 27-18\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 8-8\right) =\frac{8}{3}.$$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2+3$$ и $$y=x+5$$:

$$x^2+3=x+5,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$(x-2)(x+1)=0,$$

откуда $$x=-1$$ и $$x=2$$.

На отрезке $$[-1;2]$$ сверху расположена прямая $$y=x+5$$, снизу — парабола $$y=x^2+3$$. Тогда

$$S=\int_{-1}^{2}\bigl((x+5)-(x^2+3)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right) =\frac{9}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{8}{3}$$; 2) $$\frac{9}{2}$$.