Упр.154 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$x+1=\sqrt{1-x}$$
- $$x=1+\sqrt{x+11}$$
- $$\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$$
- $$\sqrt{x^2-x-3}=3$$
1) $$x+1=\sqrt{1-x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(x+1)^2=1-x$$
$$x^2+2x+1=1-x$$
$$x^2+3x=0$$
$$x(x+3)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-3$$.
Проверим область допустимых значений: $$1-x\ge 0$$, значит $$x\le 1$$. Оба корня этому условию удовлетворяют, но при подстановке в исходное уравнение получаем:
$$0+1=\sqrt{1-0}\quad \text{верно}$$
$$-3+1=\sqrt{1-(-3)}\quad \text{неверно}$$
Значит, $$x=0$$.
2) $$x=1+\sqrt{x+11}$$
Перенесём 1 в левую часть:
$$x-1=\sqrt{x+11}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(x-1)^2=x+11$$
$$x^2-2x+1=x+11$$
$$x^2-3x-10=0$$
$$(x-5)(x+2)=0$$
Отсюда $$x=5$$ или $$x=-2$$.
Проверим: при $$x=-2$$ левая часть исходного уравнения равна $$-2$$, а правая — $$1+\sqrt{9}=4$$, значит это посторонний корень. При $$x=5$$ получаем верное равенство.
Значит, $$x=5$$.
3) $$\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+3=5-x$$
$$2x=2$$
$$x=1$$
Проверка области допустимых значений:
$$x+3\ge 0,\quad 5-x\ge 0$$
При $$x=1$$ оба условия выполняются.
Значит, $$x=1$$.
4) $$\sqrt{x^2-x-3}=3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-x-3=9$$
$$x^2-x-12=0$$
$$(x-4)(x+3)=0$$
Отсюда $$x=4$$ или $$x=-3$$.
Проверим:
$$\sqrt{4^2-4-3}=\sqrt{9}=3$$
$$\sqrt{(-3)^2-(-3)-3}=\sqrt{9}=3$$
Оба корня подходят.
Ответ: 1) $$0$$; 2) $$5$$; 3) $$1$$; 4) $$-3,\ 4$$.
