Упр.1538 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1538 1) у = корень (х-1), у = 3 — х, у = 0;
2) у =-1/x, у = х2, у=x2/8.

1. Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x-1}$$ и $$y=3-x$$:

   $$\sqrt{x-1}=3-x$$

   Возведём в квадрат:

   $$x-1=9-6x+x^2$$

   $$x^2-7x+10=0$$

   $$D=49-40=9$$

   $$x_1=2,\quad x_2=5$$

   Проверим с учётом области определения:

   $$x-1\ge 0,\quad 3-x\ge 0$$

   Значит, подходит только $$x=2$$.

   Фигура ограничена графиком $$y=\sqrt{x-1}$$, осью $$Ox$$ и прямой $$y=3-x$$. Тогда

   $$S=\int\limits_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx+\int\limits_{2}^{3}(3-x)\,dx$$

   $$\int\limits_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx=\left.\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\right|_{1}^{2}=\frac{2}{3}$$

   $$\int\limits_{2}^{3}(3-x)\,dx=\left.(3x-\frac{x^2}{2})\right|_{2}^{3}=\frac{1}{2}$$

   $$S=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=-\frac{1}{x}$$, $$y=x^2$$ и $$y=\frac{x^2}{8}$$.

   1) $$-\frac{1}{x}=x^2 \Rightarrow x^3=-1 \Rightarrow x=-1$$

   2) $$-\frac{1}{x}=\frac{x^2}{8} \Rightarrow x^3=-8 \Rightarrow x=-2$$

   3) $$x^2=\frac{x^2}{8} \Rightarrow 7x^2=0 \Rightarrow x=0$$

   Тогда площадь равна

   $$S=\int\limits_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)dx+\int\limits_{-1}^{0}\left(x^2-\frac{x^2}{8}\right)dx$$

   $$S=\left(-\ln|x|-\frac{x^3}{24}\right)\Bigg|_{-2}^{-1}+\left(\frac{7x^3}{24}\right)\Bigg|_{-1}^{0}$$

   $$S=\left(\ln 2-\frac{1}{24}\right)+\frac{7}{24}=\ln 2$$

Ответ

1) $$\frac{7}{6}$$; 2) $$\ln 2$$.