Упр.1538 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1538. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
      1) $$y=\sqrt{x-1}$$, $$y=3-x$$, $$y=0$$;
      2) $$y=-\frac{1}{x}$$, $$y=x^2$$, $$y=\frac{x^2}{8}$$.

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x-1}$$ и $$y=3-x$$:

$$\sqrt{x-1}=3-x$$

Возведём в квадрат:

$$x-1=9-6x+x^2$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$x_1=2,\quad x_2=5$$

Проверим с учётом области определения и условия $$\sqrt{x-1}=3-x\ge 0$$. Подходит только $$x=2$$.

Тогда искомая площадь равна

$$S=\int\limits_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx+\int\limits_{2}^{3}(3-x)\,dx$$

$$S=\left.\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\right|_{1}^{2}+\left.(3x-\frac{x^2}{2})\right|_{2}^{3}$$

$$S=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$$

2) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=-\frac{1}{x}$$, $$y=x^2$$, $$y=\frac{x^2}{8}$$.

Точки пересечения:

$$-\frac{1}{x}=x^2 \Rightarrow x=-1$$

$$-\frac{1}{x}=\frac{x^2}{8} \Rightarrow x=-2$$

$$x^2=\frac{x^2}{8} \Rightarrow x=0$$

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)\,dx+\int\limits_{-1}^{0}\left(x^2-\frac{x^2}{8}\right)\,dx$$

$$S=\left.-\ln|x|-\frac{x^3}{24}\right|_{-2}^{-1}+\left.\frac{7x^3}{24}\right|_{-1}^{0}$$

$$S=\ln 2$$

Ответ

1) $$\frac{7}{6}$$; 2) $$\ln 2$$.