Упр.1537 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+9.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{1}{3}(-x)^3-(-x)^2-3(-x)+9=-\frac{1}{3}x^3-x^2+3x+9,$$
поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Найдём производную:
$$y'(x)=x^2-2x-3.$$
Критические точки:
$$x^2-2x-3=0,$$
$$D=4+12=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2},\quad x_1=-1,\; x_2=3.$$
Исследуем знак производной:
$$y'(x)=(x+1)(x-3).$$
Тогда
$$y'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>3,$$
$$y'(x)<0 \text{ при } -1<x<3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(3,+\infty),$$ убывает на $$(-1,3).$$
Стационарные точки:
$$x=-1$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.
Найдём значения функции в этих точках:
$$y(-1)=\frac{1}{3}(-1)^3-(-1)^2-3(-1)+9=-\frac{1}{3}-1+3+9=\frac{32}{3},$$
$$y(3)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-3^2-3\cdot 3+9=9-9-9+9=0.$$
Для построения графика можно отметить точки:
$$(-3,0),\quad (0,9),\quad (3,0),\quad (6,27).$$
2) Рассмотрим функцию $$y=-x^4+6x^2-9.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=-(-x)^4+6(-x)^2-9=-x^4+6x^2-9=f(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-4x^3+12x^2=4x^2(3-x).$$
Критические точки:
$$4x^2(3-x)=0,$$
$$x=0,\quad x=3.$$
Исследуем знак производной:
$$y'(x)>0 \text{ при } x<3,\; x\ne 0,$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x>3.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,0)$$ и $$(0,3),$$ убывает на $$(3,+\infty).$$
Стационарные точки:
$$x=\pm \sqrt{3}$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
Найдём значения функции:
$$y(\pm \sqrt{3})=-(\sqrt{3})^4+6(\sqrt{3})^2-9=-9+18-9=0,$$
$$y(0)=-9.$$
Для построения графика можно отметить точки:
$$(-1,-4),\quad (1,-4),\quad (3,-36).$$
Ответ: 1) функция не является ни чётной, ни нечётной; возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(3,+\infty),$$ убывает на $$(-1,3);$$ максимум при $$x=-1,$$ минимум при $$x=3.$$ 2) функция чётная; возрастает на $$(-\infty,0)$$ и $$(0,3),$$ убывает на $$(3,+\infty);$$ максимумы при $$x=\pm\sqrt{3},$$ минимум при $$x=0.$$
