Упр.1536 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) Рассмотрим функцию $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$ Функция чётная, так как
$$f(-x)=-\frac{(-x)^4}{4}+(-x)^2=-\frac{x^4}{4}+x^2=f(x).$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac14\cdot 4x^3+2x=2x-x^3=x(2-x^2).$$
Критические точки:
$$x(2-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-\sqrt2 \text{ и } 0<x<\sqrt2,$$
$$y'<0 \text{ при } -\sqrt2<x<0 \text{ и } x>\sqrt2.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-\sqrt2)\cup(0,\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,+\infty).$$
В точках $$x=\pm\sqrt2$$ — максимумы, в точке $$x=0$$ — минимум.
Найдём значения функции в этих точках:
$$y(\pm\sqrt2)=-\frac{(\sqrt2)^4}{4}+(\sqrt2)^2=-\frac{4}{4}+2=1,$$
$$y(0)=0.$$
Также нули функции:
$$-\frac{x^4}{4}+x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2\left(1-\frac{x^2}{4}\right)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm2.$$
2) Рассмотрим функцию $$y=x^4-2x^2-3.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$ Функция чётная, так как
$$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-3=x^4-2x^2-3=f(x).$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$4x(x^2-1)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm1.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } x>1,$$
$$y'<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } 0<x<1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-1,0)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-\infty,-1)\cup(0,1).$$
В точке $$x=0$$ — максимум, в точках $$x=\pm1$$ — минимумы.
Найдём значения функции:
$$y(0)=-3,$$
$$y(\pm1)=1-2-3=-4.$$
Нули функции:
$$x^4-2x^2-3=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-2t-3=0,$$
$$t=3 \text{ или } t=-1.$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ получаем $$x^2=3,$$ значит
$$x=\pm\sqrt3.$$
Ответ
1) $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$ — чётная; возрастает на $$(-\infty,-\sqrt2)\cup(0,\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,+\infty);$$ максимумы: $$x=\pm\sqrt2,\ y=1,$$ минимум: $$x=0,\ y=0.$$
2) $$y=x^4-2x^2-3$$ — чётная; возрастает на $$(-1,0)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-\infty,-1)\cup(0,1);$$ максимум: $$x=0,\ y=-3,$$ минимумы: $$x=\pm1,\ y=-4.$$
