Упр.1535 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Исследовать функцию $$y=f(x)$$ и построить её график:
1) $$f(x)=4x^3+6x^2$$;
2) $$f(x)=3x^2-2x^3$$.
1) $$f(x)=4x^3+6x^2$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=4(-x)^3+6(-x)^2=-4x^3+6x^2,$$
значит, функция ни чётная, ни нечётная.
Найдём нули функции:
$$4x^3+6x^2=0$$
$$2x^2(2x+3)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac{3}{2}.$$
Производная:
$$f'(x)=12x^2+12x=12x(x+1).$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=0.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>0,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } -1<x<0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(0,+\infty),$$ убывает на $$(-1,0).$$
В точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=0$$ — минимум.
Значения функции в этих точках:
$$f(-1)=4\cdot(-1)^3+6\cdot(-1)^2=-4+6=2,$$
$$f(0)=0.$$
Для построения графика отметим ещё несколько точек:
$$f(-2)=4\cdot(-2)^3+6\cdot(-2)^2=-32+24=-8,$$
$$f(1)=4+6=10.$$
Итак, график проходит через точки $$\left(-2,-8\right),\left(-\frac{3}{2},0\right),(-1,2),(0,0),(1,10).$$
2) $$f(x)=3x^2-2x^3$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=3(-x)^2-2(-x)^3=3x^2+2x^3,$$
значит, функция ни чётная, ни нечётная.
Найдём нули функции:
$$3x^2-2x^3=0$$
$$x^2(3-2x)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{3}{2}.$$
Производная:
$$f'(x)=6x-6x^2=6x(1-x).$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<1,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$(1,+\infty),$$ возрастает на $$(0,1).$$
В точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум.
Значения функции в этих точках:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-2=1.$$
Для построения графика отметим ещё несколько точек:
$$f(-1)=3\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)^3=3+2=5,$$
$$f(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2^3=12-16=-4.$$
Итак, график проходит через точки $$(-1,5),(0,0),(1,1),(2,-4).$$
Ответ: 1) функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(0,+\infty),$$ убывает на $$(-1,0);$$ максимум $$2$$ при $$x=-1,$$ минимум $$0$$ при $$x=0.$$ 2) функция ни чётная, ни нечётная; убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$(1,+\infty),$$ возрастает на $$(0,1);$$ минимум $$0$$ при $$x=0,$$ максимум $$1$$ при $$x=1.$$
